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1、微 积 分,章学诚 刘西垣 编著,普通高等教育“十一五”家级规划教材,(经济管理类),第二章, 2 ,第二章 极限和连续,2.3,2.5,2.2,数列极限 函数极限 极限的运算法则 无穷小(量)和无穷大(量) 极限存在的准则和两个重要极限 函数的连续性和连续函数 函数的间断点,2.4,2.6,2.1,2.7, 3 ,在大多数科学里，一代人要推倒另一代人所修筑的东西，一人所树立的另一人要加以推毁只有数学，每一代人都能在旧建筑上添一层楼 汉克尔 （H. Hankel, 18391873）,第二章 极限和连续, 4 ,在16，17世纪，随着生产实践和科学技术的发展，迫切需要解决以下几个问题：寻求曲线
2、的切线，确定物体运动的速度，计算平面曲边图形的面积和空间中表面弯曲的立体的体积等在这些问题面前，初等数学的概念和方法已无能为力，急切要求数学突破研究常量的传统，提供能用以描述和处理运动及变化过程的新理论和新方法变量数学，而微积分作为变量数学的主体，随之而生 极限的理论和方法是阐述微积分的概念和方法的工具， 是整个微积分学的理论基础, 5 ,本章介绍极限的概念、性质和运算法则，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质此外还给出了两个极其有用的重要极限随后，运用极限引入了函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述，微积分学中讨论的函数主
3、要是连续函数, 6 ,2.1 数 列 极 限,数列的概念 数列极限的定义 收敛数列的基本性质, 7 ,2.1.1 数列的概念 在讲述一般的极限概念之前，首先介绍刘徽的“割圆术”. 设有一半径为1 的圆，在只知道直边形的面积计算方法的情况下，要计算其面积. 为此，他先作圆的内接正六边形，其面积记为A1 ,再作内接正十二边形，其面积记为 A2，内接二十四边形的面积记为 A3，如此逐次将边数加倍. 他说: “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.” 用现在的话说，即当 n 无限增大时, An 无限接近于圆面积，他计算到 3 072 = 629 边形，利用不等式（如图 2
4、-1 ） An +1 A An + 2( An +1 An ) ( n = 1, 2, ) , 得到 = 3.141 6, 比印度数学家得到这个结果早200 多年., 8 ,小 知 识,刘徽 ，我国魏晋时期（公元 世纪）的杰出数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，幼年曾学过九章算术（中国数学专著，分为九章，共收集 246 个数学问题）。公元263年注九章算术。全面论述了九章算术中所载的方法和公式，纠正了其中的错误，在数学方法和理论上作出了杰出贡献。, 9 ,上面得到的一串数 A1 , A2 , , An , 就是一个数列. 一般地说，按下标从小到大依次排列的无限数组 a1 , a2 , , a
5、n , 称为一个数列，记为an 1 （也可简记为an，但这不表示无序的数集），其中每个数称为一个项. an 称为通项，或一般项. 数列也可以看成定义在自然数集 N 上的一个函数 an = f (n) ( n N), 它以自然数由小到大的顺序排列. 数列an 可以用数轴上的无穷点列表示（图 2-2 ）.,图 2-2, 10 ,例 1 以下都是数列： 一般项 一般项 一般项 4) 1, -1, 1, -1, , (-1) n + 1 , , 一般项 an =(-1) n + 1; 一般项, 11 ,2.1.2 数列极限的定义 对于数列，我们最关注的是：它在无限变化过程中的发展趋势，即当 n 无限增
6、大时, an 是否无限趋于一个常数，若是，这个常数是什么，怎样计算？ 例如：对于本节开头的数列 A1, A2, ，从几何上可以知道，随着 n 无限增大，An 的值也逐渐增大，并且无限接近于圆面积 A., 12 ,定义 1 设an 是一数列. 如果存在常数 a ，当 n 无限增大时, an 无限接近（或趋近）于 a ，则称数列an收敛，a 称为an的极限，或称数列an 收敛于 a , 记为 或 an a , 当 n . 如不存在这样的常数 a, 则称数列an发散或不收敛，也可以说极限 an 不存在., 13 ,小 知 识,柯西（A. L. Canchy, 17891857), 法国数学家，高级官
7、员家庭出身，自幼受过良好教育，1816 年取得教授职位，同年任法国科学院院士. 他在微积分的严密化方面作出了巨大贡献，故有人称他为近代意义下严格微积分学的奠基者. 他共有7 部著作, 800 余篇论文., 14 ,小 知 识,这个极限定义 (定义 1) 是他为巴黎综合工科学校编写的代数分析教程中给出的，其原话是：“若一个变量逐次所取的值无限趋近一个定值，最终使变量的值与该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限.” 在该书的序言中还对无穷小量和无穷大量概念作了说明. 他最先使用极限记号, 并用极限来阐述微积分中的导数和定积分概念., 15 ,例 2 判别例 1 中的数列是否发散，在
8、收敛时求其极限. 解 1) 数列当 n 无限增大时, 无限接近于 0 , 故数列 收敛，其极限为 0. 2) 数列虽然在 0 点两侧无限次来回变动, 但当 n 无限增大时, 也无限接近于 0 ，故 收敛于 0 .,例 1 以下都是数列：, 16 ,例 2 判别例 1 中的数列是否发散，在收敛时求其极限. 解 3) 当 n 无限增大时, 无限接近于 1 , 故数列 收敛，其极限为 1. 4) 数列无限多次在 1 和 -1 来回取值，故不可能存在一个常 数 a, 使当 n 无限增大时 (-1)n+1 与 a 无限接近, 从而(-1)n+1发散. 5) 随着 n 无限增大 也无限增大, 故 不收敛,
9、 即发散.,例 1 以下都是数列：, 17 ,在前面计算面积 A 的例子 (p. 36) 中，数列An收敛，其极限为 A = 12 = ，可以写成 注意，在定义中，不能将 “无限接近（或趋近）” 改成 “愈来 愈接近”，因为对数列 而言，当 n 无限增大时， 与 -2 或 -1 也都愈来愈接近，但不能无限接近 -2 或 -1, 故 -2 或 -1 不 是 的极限. 又如数列 其一般项为 显然， 当 n 无限增大时，an 无限接近于 0，故 0 是它的极限，但 an 的值是来回跳跃的，不是 “愈来愈” 接近于 0., 18 ,为了方便起见，有时也将当 n 时 | an | 无限增大的情况说成是
10、an 趋向于 ，或称其极限为 ，并记为 但这不表明an 是收敛的. 若当 n 足够大时, an 0 (或 an 0), 且当 n 时, | an | 无限增大，则称 an 趋近于 + (或-) ，记为 (或 ) . 例如：对例 1 中 5) 的数列 ，可以说成, 19 ,在上面的例子中，说数列an的极限是 a ，靠的是观察或几何直觉, 但仅凭观察或直觉很难做到准确. 例如：对于数列 不能严格说明它为什么是收敛的, 其极限为什么是0而不是别的数. 为此，需对数列极限的概念作更精确的说明 由于两个数 a, b 之间接近的程度可以用它们之间的距离 |a-b| 的大小来衡量所以说：“当 n 无限增大时
11、 an 无限接近于a ” , 等价于说：“只要 n 足够大，可以保证 | an - a | 小于任何预先给定的小的正数” 由此得到关于数列极限的如下严格的定义：, 20 ,定义 1 给定数列 an, 如果存在常数 a，使得对于预先给定的任意小的 0，总有足够大的自然数 N，使得当 n N 时有 | an - a | 0，当 n N 时，总有 a - N 包含在 a 的邻域 U (a,)中 (如图 2-3)这个定义中的 N 与有关,图 2-3, 21 ,小 知 识,微积分或数学分析的教科书中关于极限的这个严格定义 (定义1) 是由德国数学家魏尔斯特拉斯（K. Weierstrass, 18151
12、857）给出的. 他不满意用“无限趋近”来描述极限概念，力求避免直观而把分析奠基在算术概念的基础上，改进了在分析（包括微积分）的严格化方面柯西等人的工作，这些工作是他在18411856 年任中学教师（教授写作和体育课）时作出的，但在他于1856 年到柏林大学任教之前不为人所知，1864 年任柏林大学教授., 22 ,例 3 用-N 方法证明例 2 中 1) 和 3) 的结论. 证 设 按定义 1，对任意给定的 0，为使 只需 ，即 设 N () 是大于 的任意一个整数，则当 n N 时上式即成立, 从而,例 2 中 1) 的结论：数列 收敛于 0, 23 ,例 3 用-N 方法证明例 2 中
13、1) 和 3) 的结论. 证 设 按定义 1，只需对任意给定的 0，证 明存在 N () ，使当 n N () 时有 即 ，或 由此可知只需取大于 的一个整数作 为 N () 即可.,例 2 中 3) 的结论：数列 收敛于 1, 24 ,对于给定的数列，要判别它的敛散性（即是否收敛）以及在收敛时求出其极限一般说来，并非易事，甚至是一个难题，需要运用很高的技巧本章下面几节将仅介绍求极限的基本方法, 25 ,2.1.3 收敛数列的基本性质 以下介绍收敛数列的一些性质为了较好地掌握极限的上述定义，这些性质我们都给出证明，证明的过程从几何上不难理解, 26 ,性质 1（极限的唯一性） 收敛数列的极限是
14、唯一的即若数列an 收敛，且 和 , 则 a = b. 证 用反证法设 ab，不妨设 a N1 () 和 | an- b | N2 (). 取 N () = maxN1 (), N2 (), 则当 n N () 时同时有 | an- a | 和 | an- b | ， 即 a - an a + 和 b - an b +. 但 , 这就导致 和 需同时 成立的矛盾， 从而 a = b., 27 ,性质 2（收敛数列的有界性） 假设数列 an 收敛, 则数集an必有界，即存在常数 M 0，使得 | an | 0, 有 N (), 使当 n N () 时有 | an- a | ，取 M = max |a1|, |a2|, , |aN()|, | a -|, | a +| + 1， 则有 | an | M ( nN ).,图 2-4, 28 ,性质 3（收敛数列的保号性） 假设数列an收敛, 其极限为 a. 1) 如果存在正整数 N，使得当 n N 时 an 0 (或 0 (或 N 时 an 0 (或 N，使当 n N () 时有 a - N (). 这与假设 n N 时 an 0 相矛盾., 29 ,性质 3（收敛
