《黄力宏习题(9)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《黄力宏习题(9)（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、90习题四1. 利用定义计算下列定积分：（1） d();bax解：将区间a, bn 等分，分点为 (), 12,;ibaxinn记每个小区间 长度为 取1,ix,i,iix则得和式211 ()(1()()nnii i babanfan由定积分定义得2012 () dlim()li .nbia nxfxabna(2) 10ed.x解：将区间0, 1 n 等分，分点为 记每个小区间长度 取 (1,2),ixinn 1,ixn则和式(1,2),iix11innii ifxe12011edlmli(ee)e()lilie1()li.nnx ninnnn 2. 用定积分的几何意义求下列积分值:；10()
2、2 dx解:由几何意义可知,该定积分的值等于由 x 轴、直线 x=1、y=2x 所围成的三角形的面积，故91原式=1.20()d(0)RxR 解：由几何意义可知，该定积分的值等于以原点为圆心，半径为 R 的圆在第一象限内的面积，故原式= .2143. 证明下列不等式：；2e22()lnd(e)x证明：当 时， 即22ln,1le.x由积分的保序性知： 222eeedlndxx即 222e().(2) 210.x证明：当 时，.21e,x由积分的保序性知： 2100ddx即 210e.x4. 证明：（1） 120limd0;nnx证明：当 时，,1nx于是1 12200d(),2nnx而 1li
3、m(),nn由夹逼准则知： 20lid0.nnx(2) 40lisd.n证明：由中值定理得其中40 sisi(0)sin,4nx 0,492故40limsndlisn0 (sin1).4nx5.计算下列定积分： 43(1);解：原式 .238x;21()d解：原式 012201()()d()dxxx2322331015.6,其中0(3)dfx ,0,2()sin,;xf解：原式 2220201dsicos1.8xxx2(4)ma1,;解：原式1222 331210dd.xxx20(5)sin .解：原式4204d(cosin)d(sinco)dicoxxx2404(sin)(si)(1).x6
4、. 计算下列导数： 20d(1)xt93解：原式 .421x324d()xt解：原式322441800d3.d11xttx7. 求由参数式 所确定的函数 y 对 x 的导数 .20sincodttxuy dy解：22dst.intx8. 求由方程 所确定的隐函数 的导数.00edcosyxtt ()yx解：方程两边对 x 求导，有y又 e1sin故 .coixy9. 利用定积分概念求下列极限： 11()lim2n n解：原式 1100li dln2.l()1n x 22()lim().nn解：原式1312001li .d.n xn10. 求下列极限： 203l()d(1)im;xt解：原式 2
5、12300ln()ilimn().3xxx9420ed()lim.xtt解：原式2220020eed1lilimli.xxtxtx11. a, b, c 取何实数值才能使 成立.201lisnbxtca解：因为 时， 而该极限又存在，故 b=0.用洛必达法则，有0xsi2 220 00, 1,1limlim2cocosli,.snx xxaaa所以 ,b或 .10,ac12. 利用基本积分公式及性质求下列积分：;2()5)dx解：原式 .1732220xxc；()3edx解：原式= (3e).lnxxc22(3)d;1xx解：原式=3 2213arctn2rsi.xcx2(4)d;1x解：原式
6、= 22darcsin.1xxx;(5)sind95解：原式= 1cos1dsin.22xxc(6);解：原式=3571444d.xxxc2(7);解：原式= .1dxc(8);解：原式= .3522dxc2(9);解：原式= .2532dxxc(10);解：原式= 32.xxc421(1)d;解：原式= 323arctn.xxx;(12)dex解：原式= 3ln.xce(1)d;x解：原式= 12.xxc96235(14)d;xx解：原式= .5233lnxxc；(15)sec(ta)dxx解：原式= .2secntasecx;(6)1cox解：原式= .2211dsecdtasxc;(7)
7、cinx解：原式= os)sico.xx.2(18)dci解：原式= 21ctan.sncosxxxc13. 一平面曲线过点（1，0） ，且曲线上任一点（x, y）处的切线斜率为 2x2，求该曲线方程.解：依题意知： y两边积分，有 2xc又 x=1 时，y=0 代入上式得 c=1，故所求曲线方程为 .21yx14. （略）.15. 利用换元法求下列积分：;2(1)cos()dx解：原式= 21sin.xc;3sinc(2)do解：原式=1 23 33(si)(sinco)(sinco).2xxx97;2d(3)1x解：原式= 11dlnln222x cxx1ln.2xc;3(4)cosd解：
8、原式= 2 311in)sinsi.xxc；(5)cs解：原式= 133dsini.ocs22xxc;(6)sinx解：原式= 11(5sin)dcos5.220xxc;arcos0(7)x解：原式= 2arcos 2arcos11d(rs)0.lnx x;2ln(8)解：原式= 1l)d(l).lnxxc;arctn(9)1)解：原式= 22rtd(arctn)(arctn).xxc;ln(0)cosi解：原式= 21lta(lt)(lta).xxc;5(1)ed解：原式= .xc98;d(12)x解：原式= ln.c;si(13)dt解：原式= 2in2cos.tt;10(4)tasedx
9、解：原式= 1(t)tan.0xc;2(15)lnx解：原式= d(l).nxc;22(16)ta1解：原式= 2tnd()ln.cos1xcx;(17)sico解：原式= 2tal.ttannxcx;2(8)ed解：原式= 2211()e.xxc;0(9)4解：原式= .1)xc;3d(20)解：原式= .1 23 31()(2)()xxc;2(1)cosd解：原式= 21in()si().xc99;(2)dax解：原式=12222d()d()1xxaxaxa2rcsin.xc;d(23)ex解：原式= 2()arctne.1xx;ln(24)d解：原式= 2l()(ln).xxc;23(5
10、)sinco解：原式= 2351(1si)d(isiin.xxxc;42d(6)解：原式32tan444secos1sindd(i)inxttt 令 31,siit又 22co,n1xtx故上式 3().c;d(27)1x解：原式 2ln|12ln(1).xtttcxxc令(28) 9d;x100解：原式 ,3sec22tand3(sec1)d3tanx ttc令又 2t19,ros,xtx故上式= .239arcosx;23d()1)解：原式 ,tan3secosdinxtttc令又 , 所以 ,2s1t2i1xt故上式 .2xc.2d(30)1x解：原式 sincostt令ditt + =
11、 t + c1 = ln |sin t+cos t| + c2故 2os1dlnsicoin2arl.1tttxcx16. 用分部积分法求下列不定积分：;2(1)sindx解：原式= 2 2coscodcosdinxxxx2sin.;()edx解：原式= ede.xxc101;(3)lndx解：原式= .2 22111lndln4xxxc;2(4)arctx解：原式=33 2111tndarctndxx322arctl().6;(5)osdx解：原式= .22arcdarcos11xxc;2(6)tndx解：原式= 2 211sec)dtantantdxxx2tal.osxc;(7)ecd解：
12、 ssinesiesindxxxxedcocosecsdxx原式= 1(sico).2xx;8)nd解：原式= 11sics2cos2csd44xxxx.1co2in48;32(ln)9dx解：原式= 33211(l)(ln)(l)dxxx321(ln)(l)6l1023216(ln)(l)ln.xxc.2(0)da解：原式 tn3secxt又 2(an1)dtan(sec)dttt3tsecl所以 3tasectan2t故 22211dl.xxcx17. 求下列不定积分：;2(1)(1)x解：原式= 211dlnl122()()xcxx1ln.1c;3d(2)x解：原式= 222 11dln
13、l d1x xxx .232lnarctcx;5438()d解：原式= 243d11xxx328lnlln.1c ;26(4)d1x103解：原式=3321d()1arctn.xx;sin(5)解：原式= 2221dtan(sec1)dsectan.cooxxxxc;t(6)sin1解：原式2 2ta22d11dd()21xttttttt 令 lnlntan.t222xtcc;1(7)d)x解：原式= 2()ln(1).1xcx;(8)d解：原式= 1212lnd1xx又 dx122441xttt令42lnlnt xtcc 故原式= .1l(1)xx18. 求下列不定积分，并用求导方法验证其结果正确否：;d()ex解：原式= 1deln(1e).()exxxx c104验证： e1(ln1e).xx xc
