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1、128习题六1. 指出下列各微分方程的阶数：(1) 一阶 2()0;xyx(2) 二阶 (3) 三阶 2;xyxy(4) 一阶(76)d()0.2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：;2(1),5xyx解：由 得 代入方程得210 210510xx故是方程的解.;(2)0,3sin4cosy解： cos;icsxyx 代入方程得 .is0故是方程的解.;2(3)20,exyy解： 2e(),(4)ex xy 代入方程得 .故不是方程的解. 121212(4)0,e.xxyyyC 解： 122e,xxC 代入方程得 12 1212212 12()e)(e)0.xxxxxxC故是方程的
2、解.3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解：12922(1)2,;xyxxyC 证：方程 两端对 x 求导：2C0xy得 2y代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 2() 0,ln().xyyyx证：方程 两端对 x 求导：ln()(*)1y得 .(1)yx(*)式两端对 x 再求导得 221()yxy将 代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.,y4. 从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线： 20(1),5;xxCy 解：当 时，y=5.故 C=-250故所求曲线为： 21200()e,1.xxyy 解： 2xy当 x=0 时，y=0 故有 .1
3、C又当 x=0 时， .故有 .2故所求曲线为： .exy5. 求下列各微分方程的通解：;(1)ln0x130解：分离变量,得 d1lnyx积分得 ldylnlnxcy得 .ecx1(2);y解：分离变量，得 d1xy积分得 x得通解： 21.yc;(3)e)d(e)d0xyx解：分离变量，得 e1yyx积分得 ln()l(1)lnyc得通解为 .ex;(4)cosidsicod0xyy解：分离变量，得 sinixy积分得 lsllnc得通解为 i.yx;(5)yx131解：分离变量，得 dyx积分得 21lnc得通解为 21e()xy ;(6)210x解： y积分得 (21)dx得通解为 .
4、yc;32(7)40x解：分离变量，得 3d(42)dyx积分得 3c即为通解.(8)exy解：分离变量，得 deyx积分得 得通解为： .eyxc6. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：;20(1)e,xyx解：分离变量，得 2edyx积分得 .1c以 代入上式得0,xy2故方程特解为 .e(1)yx.2(2)sinl,exyx 132解：分离变量，得 dlnsiyx积分得 ta2exc将 代入上式得,2xy1故所求特解为 .tan2exy7. 求下列齐次方程的通解：;2(1)0xyx解： d1令 dyuuxx原方程变为 21两端积分得 ln()lnuxc21ycxx即通解为： 22;
5、d(2)lnyx解：令 ， 则yuxdyux原方程变为 (ln1)u积分得 lnxcln1yx即方程通解为 ec1332(3)d0xyx解： 221dyxx令 ， 则yuux原方程变为 2d1即 d,uxxu 积分得 211lnc12lyx故方程通解为 221ln()()cc ;3(4)d0xyxy解： 33221xyx令 , 则yudu原方程变为 321x即 23d1u积分得 1ln()lnxc以 代替 u，并整理得方程通解为 .yx32yx;d(5)y134解：1dyx令 ， 则yuxdux原方程变为 1分离变量,得 2dux积分得 1arctnl(1)lnc以 代替 u，并整理得方程通解
6、为到 yx 2arctn2 21e.()yxxc 2(6)yx解： 2d1yxyx即 2d1y令 ， 则 ,xvyd,xvv原方程可变为 21dvyv即 2分离变量，得 2d1vy积分得 .ln()lnc即 2yv135221yvc以 代入上式，得 yvx2cyx即方程通解为 .22c8. 求下列各齐次方程满足所给初始条件的解：;2 0(1)3)d,1xyxyy 解： 23xy令 ，则得 yu2dux分离变量，得 23积分得 ln(1)ln()luucx即 23llcx得方程通解为 23y以 x=0，y=1 代入上式得 c=1.故所求特解为 .23x.1(2),xyy 解：设 ， 则uxdu原
7、方程可变为 x积分得 .21lnc得方程通解为 (l)yx136以 x=1，y=2 代入上式得 c=e2.故所求特解为 .(ln)yx9. 利用适当的变换化下列方程为齐次方程，并求出通解： (1)253)d(246)d0xy解：设 ，则原方程化为,1XyY25d4YX令 d2YuuX247222 11(8)3lndl4711n(47)d6llnl2uuuuc2 6162324233241lnl(7)ll()(1),()XucXu 代回并整理得.2 3(4)(),()yxxc(2)1)d1d0;xy解： 4x作变量替换，令 1,0XyY137原方程化为 1d4YYX令 ,则得uX 2d1d144
8、uuXX分离变量，得 214x积分得 2221d(14)ln4arctlnuXuc即 22ln(1)tu2ln(4)arctnXu代回并整理得 2l4.1yyxx;(3)d(3)d0x解：作变量替换 则,vyvx原方程化为 1d34112()d()32ln()32,(2)vxxvxcvc 代回并整理得 2l().xy.d1(4)y138解：令 则,uxyd1uyx原方程可化为 分离变量，得 积分得 21uxc故原方程通解为 21().(2)xyxc 10. 求下列线性微分方程的通解：;(1)exy解：由通解公式 ddede()exxxxxccc；2()3xy解：方程可化为 123yx由通解公式
9、得 11dd2e() e31.xxccxxsin(3)coe;yx解： dcosdsinsi e().xxc;(4)yx解： 22(4)d(4)dee4dexxxxcc.2221xxc;3(5)()y解：方程可化为 2d()2yxx13911dd22ln()ln()3e(e(2)()xxxycxc2(6)14.xyx解：方程可化为 221y222dd13ln(1) 24e e()xxx cx11. 求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解：;d1()si,xyyx 解： 1d 1nesindcosexxc以 代入上式得 ，,1xy故所求特解为 .(1cos)xx.231(2),0xyy 解：
10、23d3lnxc222233d +3lnd 3lneedxxxxy c 2223311.xxxc以 x=1,y=0 代入上式，得 .e故所求特解为 .231x12. 求下列伯努利方程的通解：1402(1)(cosin);yx解：令 ，则有1zdd(2)()cosin)sincozzxxx(1)d(1)eiescdsix xc1esinxcy即为原方程通解.4(2)(2)3xy解：令 .d1zzyde21e(2)exx xcc3xyc即为原方程通解.13. 求下列各微分方程的通解：;(1)sinyx解：方程两边连续积分两次得 21321cosin6yxx;(2)exy解：积分得 1dexxc11
11、22 23()eed(3)xx xy ccxc;(3)y解：令 ,则原方程变为p141d1,eex xxpxpc 故 .2112(e)dxyccc;3(4)解：设 ， 则ypdpy原方程可化为 3即 2d(1)0py由 p=0 知 y=c，这是原方程的一个解.当 时，022dd1py112arctnlnsi()()cxycy221arcsin(e)(e)cxy 5);解： 1dlyxc1212(n)lnl()xcx ;2(6)yx解： 121darcsinx 21 12(arcsi)i.yxxc;7)0解：令 ,则得ypd0pxx1421lnlpxc得 故 .12dlnyxc.3(8)0解：令 ，则 .pydpy原方程可化为 3310,dy2221122111222111dd().cppcyyxxccyxycx14.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：;311(1)0,0xxy解：令 ，则 ,pdpy原方程可化为 3 311dpy2212cpy由 知， ，从而有1,0xyp1c222
