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1、多元积分例题,重积分,例1(05，三) 设 其中 ,则 B. C. D.,【解答】选 A，因为当 时 而余弦函数在 上是单调减少的，故由二重积分 的比较性质，有,例2. (03，三) 设 而表示全平面，则 【分析】本题积分区域为全平面，但只有当 时，被积函数才不为0，因此实际上只需在满足此不 等式的区域内积分即可。,解 因 故 【评注】对于分段函数的二重积分，要利用可加性 分块积分。,例3. (02，三)交换积分次序: 【分析】此类问题首先根据原累次积分确定积分域, 并画出积分域的草图，然后交换次序。 【解答】由原累次积分可知,由此积分区域如图所示， 因此 解决交换次序题型问题的关键是根据已给
2、出的积分次序，来画出积分区域示意图，然后确定新的积分次序和积分限。,例4. (04，一) 设 为连续函数, , 则 等于 B. C. D.0 【解答】选B。先交换积分次序，使被积函数中不 含有变量 ，由y型区域 ： 得x型区域 于是， ，所以，,例5. (04,) 设函数 连续,区域 则 等于 B. C. D.,【解答】选D。 为圆心在 ，半径为1的圆域， 排除A,B. 的边界 化为极坐标方程为 于是 原式 = C的面积元素缺少 ，故选D。,(06,一)设 为连续函数，则 等于 B. C. D.,例6 (05，二) 设区域 为 上的正值连续函数, 为常数,则 等于 A. B. C. D.,【解
3、答】选D。考虑积分 因 关于直线 对称, 故由二重积分的对称性： 又 即 故 于是,原式=,例7(03，三) 计算二重积分 其中积分区域 【解答】作极坐标变换： 有 令 ,则 记 则,因此 故 注 本题是基础题目,综合考查了二重积分换元积分与分部积分等多个基础知识点。,(06,一,二)设区域D= , 计算二重积分 提示: (06,三) 计算二重积分 D:,例8(04，三) 求 其中 是由圆 和 围成的平面区域. 【分析】首先，将积分区域分为大圆 减去小圆 再利用对称性与极坐标计算即可。 解由对称性，,例9(02，三) 设闭区域 : 为 上的连续函数,且 求 【分析】本题利用对等式两边求二重积分
4、的方法，结合二重积分的几何意义求函数。 【解答】设 ， 在已知等式两边求区域 上的二重积分,有,从而,故,即,因此,例10(05，二) 计算二重积分 其中 【解答】将区域用曲线 划分为 和 ， 原式,例11(02，一) 计算二重积分 , 其中 . 【分析】本题是考查二重积分计算的典型考题。 解 令,例12(05，一) 设 , 表示不超过 的最大整数,计算二重 积分 【解答】用 将区域划分为 和 ， 在 内, 故 在 内, 故 从而,原式,例13计算 ，其中D是由 所围成的区域， 为连续函数. 解 利用曲线 将B与O连接起来，将区域分成两个区域 和 。由对称性，有 故 原式,例14.(90，四)
5、 计算二重积分 ,其中D是由曲线 在第一象限所围成的区域. 【解答】 所给积分为二重反常积分，由于被积函数 中 ，不能用初等函数表示出来，因此，积分 化为先 后 的二次积分，由于 因此,例15. (95，一) 设函数 在区间0，1上连续， 并设 ，求 解 先交换积分次序，再将积分变元位置互换，得 因此 故,例16(03，一) 设函数 连续且恒大于零. ， 其中 （1）讨论 在区间 内的单调性; （2）证明当 时, .,【分析】 先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积分，再根据导函数 的符号确定单调性； 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明。
6、 解 （1）因,所以在 上， ，故 在内单调增加。 （2）因为 只需证明当 时，,即上式的分子 令 则 故 在 内单调增加。 因为 在 处连续，所以当 时,有 又 故当 时, ,因此,例17计算 轴旋转一周而成的曲面与平面 所围成的 立体的体积. 【分析】根据被积函数与积分区域的形式，本题应 采用柱坐标，具体方法是“先二后一”或“先一后二”或 是将 分割来求。,解法一：如图9所示，将 分为两部分进行积分， 旋转曲面方程为,解法二：如图10所示，采用“先二后一”法较简便， 取 : 或,利用三重积分计算体积，应注意： 将所求体积转化为若干个曲顶柱体的代数和。 若体积在坐标面上的投影为圆域，则考虑用
7、柱面坐标来求解。 若体积具有对称性，可求出其中一部分体积，进而求出整个体积。,例18. 求由曲面 所围成空间立体的体积. 【分析】计算曲面围成的立体体积 可以使用二重积分或三重积分的几 何意义来解决，即可以利用若干个 曲顶柱体的体积的代数和或者将体 积看成被积函数为1的三重积分的 值，然后再根据二重积分或三重积 分的具体方法来解决。 本题应先求出两曲面的交线在 面上的投影.,由 ，即 ,得 ， （舍去），故投影 : 解法一 利用二重积分,有 也可利用对称性,只计算第一卦限的部分: 解法二 利用三重积分,有 其中,练习题: 分别利用定积分，二重积分和三重积分计算旋转抛物面 和平面 所围成的空间区
8、域 的体积.,例19.求 【分析】这是一个三重积分的累次积分，可看成是 用“先一后二”或“先二后一”的公式化成的，只须对二 重积分交换积分顺序，达到先积 的目的。,解先交换 与 的顺序，则 再交换 与 的顺序， 最后交换 与 的顺序,对三重积分的累次积分交换积分顺序时， 若由累次积分不易确定三重积分的积分区域 时，只须把这个累次积分看作是一次定积分 与一次二重积分的累次积分。对其中的二重 积分的累次积分易交换顺序，这样每一步都 是二重积分的积分顺序的交换，若干次后即 可达目的。,例20.设函数 具有连续导数,且 分析此三重积分的被积函数是的函数，积分区域又 是球体，故应用球面坐标。 注化重积分为累次积分是处理这类问题的基本方 法，注意使用洛必达法则及导数概念。,例21设有一物体，占有空间 ： 在点 处的密度为 ， 求该物体的质量. 解 上面计算中，利用了三重积分的轮换性，当 对 可以轮换时，,练习题:用四种方法计算 ， 其中 为 在第一卦限部分.,
