《d二重积分的计算zn》由会员分享，可在线阅读，更多相关《d二重积分的计算zn（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,二重积分的计算法,第十章,如果积分区域为：,X型,其中函数 、 在区间 上连续.,一、利用直角坐标计算二重积分,X型积分区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,如果积分区域为：,Y型,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,设,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,同样, 曲顶柱的底为,则其体积可按如下两次积分计算,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若D为 X - 型区域,则,若D为Y - 型区域,则
2、,总结:利用直角坐标计算二重积分,当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .,由于,说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 ,为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.,则有,(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X - 型域或Y - 型域 ,则,例1. 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,解法1. 将D看作X - 型区域, 则,解法2. 将D看作Y - 型区域, 则,例2. 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线,则,例3. 计算,其中D 是直
3、线,所围成的闭区域.,解: 由被积函数可知,因此取D 为X - 型域 :,先对 x 积分不行,说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.,例4. 交换下列积分顺序,解: 积分域由两部分组成:,视为Y - 型区域 , 则,例5. 求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积.,解: 设两个直圆柱方程为,利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 计算,解,由对称性,内容小结,(1) 二重积分化为二次积分的方法,直角坐标系情形 :,若积分区域为,则,若积分区域为,则,则,极坐标系情形: 若积分区域为,(3) 计算步骤及注意事项, 画出积分域, 选择坐标系, 确定积分序, 写出积分限, 计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积分好算为妙,图示法,不等式,( 先积一条线, 后扫积分域 ),(充分利用对称性),思考与练习,1. 设,且,求,提示:,交换积分顺序后, x , y互换,解：,原式,2. 给定,改变积分的次序.,
