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1、115美国大学的留学申请问题摘要如今越来越多的学生选择海外留学，而美国各著名学府更是莘莘学子所向往的地方。申请美国留学程序复杂，著名学府对学生的素质要求自然也很高。为了能使不同水平的学生都能有一个较为满意的留学归宿，我们建立一些数学模型对留学申请者做一个指导。对于问题一，我们建立综合评价模型来做。对于问题二、问题三，建立优化模型，然后我们通过有关数据对模型进行检验，确定模型的合理性。对于问题一，我们用两两比较法求出学生申请的专业，平均成绩，托福分数，GRE分数班级/专业排名的权重，进而来求学生的综合成绩。对整个过程进行合理的推导，两两比较结果用矩阵展现,最后得出权重向量=（0.043,0.20
2、1,0.201,0.469,0.086），接着我们又考虑到获奖或发表过论文的加分，没有获奖或者没有发表论文的不加分然后得出申请人综合的评价，综合评价成绩越高，录取的可能性就越大对于问题二，在资金有限的情况下，我们为了保证录取概率，建立最优化模型确定目标函数和约束条件：经查大量数据我们对模型进行检验，从申请者的平均水平来考虑，申请者根据自己的综合成绩，应申请四所学校为最佳方案。即最佳申请数量m=4，结果较为合理对于问题三，本问是基于问题二的再优化，在问题二中我们求得了最合理的报考数量，然后我们希望进入更好的学校，但是进入好的学校会导致录取的可能性变小。由此我们建立关于满意度的最优化模型，最后我们
3、根据权威的数据进行检验模型的合理性，我们查阅数据，用matlab求解模型得出最优的方案是报美国大学排名四十，四十一，七十，七十一，得到的总满意度最好。看出对于平均情况而言，结果还是合理的，当然，优秀的学生可以适当报排名靠前的。关键词：两两比较法 权重 综合评价 优化模型 一,问题重述现在，越来越多的学生选择去海外留学，尤其是美国。校园中随处可见考托、考G者的身影。申请的程序很繁杂，录取的时候影响因素也很多。为了这些同学都能取得好的申请结果，多拿“offer”。现在请你们建立一个模型，来帮助他们做结果的定性和定量评估。本次模型主要考虑的对象是申请美国研究生的同学，包括硕士研究生（master）和
4、博士研究生（Ph.D.）。不考虑申请其它国家和申请本科、博后的情况。问题一：一个申请人是否能够被录取，需要考虑很多因素，比如申请的专业、他/她的平均成绩（GPA）、托福分数、GRE分数、班级/专业排名等等。现在，我们假设一个申请人只能申请一个学校。请根据以上列举的影响因素建立模型，来计算一个申请者录取的可能性。如果一个申请人曾经发表过相关专业的论文，或是参加了一些竞赛并获奖（例如全国大学生数学建模竞赛、美国大学生数学建模竞赛、电子设计竞赛等），这样他/她就会比其他人更有优势，从而拿到“offer”。请考虑以上两个因素，进而改善你们的模型。问题二：大多数情况下，一个申请人会同时申请多个学校。申请
5、的学校越多，获得录取的可能性也就越大。但是，每一次申请都需要缴纳不菲的申请费和材料寄送费。如果一个申请人认为只要能拿到一个录取就算是成功的，在资金有限的情况下，他/她应该申请几个学校呢？请建立模型，帮助你的同学做分析。问题三：几乎所有的申请人都想拿到美国顶尖学校的录取通知，比如麻省理工学院、哈佛大学、斯坦福大学等。可是，学校的排名越高，获得录取的可能性就越小。根据你的模型，写一份分析报告，帮助申请人合理的选择学校。二，问题分析愈来愈多的大学生选择去美国留学，申请美国留学的途径也受到大家的关注，美国大学研究生申请材料清单都需要准备哪些，对于很多计划申请美国研究生的人来说，在申请美国研究生之前需要
6、准备的材料有很多，比如1. TOEFL/IELTS/PTE成绩2. GMAT、GRE(或SUB)、LSAT等成绩3. 个人陈述4. 三封推荐信5. 大一至大四成绩单、毕业证和学位证6. 财力证明(以35-60万人民币为宜)等等。本次模型主要考虑的对象是申请美国研究生的同学。（一） 问题一的分析问题一属于多因素决策的建模问题，对于解决此类问题我们一般要对影响因素的权重进行测定及综合评价的分析。我们用两两比较法求解多因素的权重，所以首先我们应对申请专业、GPA成绩、托福成绩、GRE成绩和专业排名进行两两比较从而得到矩阵，接着即可求得权向量。最后在综合考虑该学生在所申请专业内是否有发表过论文亦或是获
7、奖的情况，得到最终的综合评价规律公式。（二） 问题二的分析问题二属于优化的数学问题。大多情况下，一个申请者会同时申请多个院校，但是由于申请所需的花费不菲。并且如果申请太少了，录取的几率会降低；反之，则要花费更多的时间、精力和钱财，在有效的时间内可能会降低申请的质量。所以我们需要以只要拿到一个录取，资金有限为前提，设计一个关于大学生申请留美读研的最优化模型。（三） 问题三的分析问题三是基于问题二的优化模型的再优化。这一问需要考虑申请者所申请的学校的级别。我们用权威机构给大学的综合评分来表示申请人对学校的满意度，因为不同的学校的录取率不同也就意味着风险不同，所以我们要以此为条件建出帮助申请人合理选
8、择学校的最优模型。三，变量说明C 1：申请专业C： GPA成绩C：托福成绩C： GRE成绩C：专业排名C6：是否发表论文或者获奖Q：综合评价成绩 (ij=1,2,3,4,5)：两个因素的影响之比CI：一致性指标RI：随机一致性指标：最大特征值CR：一致性比率：权向量m: 一个人申请的学校数量P: 每一个学校申请成功的概率C: 每个学校需要缴纳的费用Pi: 第i个大学录取的概率Ri: 第i个大学的满意程度Xi: 是否选择了第i个学校四，模型假设1假设学校根据留学申请者的综合评定成绩排名先后录取，直至录取人数达到学校要求2假设留学申请者的各方面成绩都满足所申请的学校的最低要求。3假设申请者只申请了
9、美国的大学。4. 假设录取学校数量的期望值能够表示录取成功的数量五、模型的建立和求解（一）、问题一的模型的建立与求解首先是录取影响因素权重的获取我们要确定一个学生的录取可能性，我们可以通过综合评价的方式进行评定学生的综合成绩。因此，一个考生如果综合成绩较高，那么他录取的可能性就要越大，反之，则录取的可能性较低，在综合评价中，我们发现：申请专业、GRE成绩、GPA成绩、托福成绩、专业排名等等因素对美国大学录取的影响作用是不同的，我们有必要得出每个影响因素的权重，进行综合评价。那么，我们查阅有关资料（USNEWS），这样我们利用两两比较法评定录取中国留学生影响因素的相对重要性，获取其权重，假设要比
10、较个因素对录取结果的影响，取两个因素和，用表示和对录取的影响之比，全部比较的结果可写成对比较矩阵：，。根据有关专家评定和资料分析我们能够用1-9尺度简单的比较因素的相对大小，结果如下图：申请专业GPA成绩托福成绩GRE成绩专业排名申请专业11/51/51/71/3GPA成绩5111/33托福成绩5111/33GRE成绩73315专业排名31/31/31/51即我们得到比较矩阵：A=成对比较矩阵通常不是一致阵，为了能用它的最大特征根的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度需要控制在一定的范围内。计算方法如下：定义：一致性指标；一致性比率为;本文中n=5，对应的RI=1.12，可以求出=0.
11、031, =0.0270.1，故通过一致性检验。通过matlab（附录）我们可以求得比较矩阵的特征值和特征向量，我们求得的特征值是5.1269，然后可得权向量=（0.043,0.201,0.201,0.469,0.086）通过结果分析我们知道，GRE考试成绩相对来说是最为重要的，但是我们考虑的影响因素的分值相差较大，为了使我们的评价更有意义，我们有必要对每个因素进行换算，例如GPA的满分是五分，我们可以换算成百分制的成绩，如此对其他因素进行同样的换算，假设学生各因素所得百分制的分值分别是a1,a2,a3,a4,a5，那么在不考虑其他因素的情况下，我们同学的综合评价成绩可以得出是：0.043a1
12、+0.201a2+0.201a3+0.469a4+0.086a5,因此，不考虑发表论文或者获奖情况时，综合成绩越高，录取的可能性就越大。考虑是否发表论文或者获奖情况在录取过程中，美国大学还会着重考虑申请人是否曾经发表过相关专业的论文，是否获得过竞赛奖项等等，这是我们不可回避的一个重要因素，对一个申请人来说，这种因素只会有两种结果：第一种是没有发表论文，也没有获奖，第二种是发表过论文或者获得过竞赛的奖项，发表够论文或者获过奖的可以加分，没有的自然不会加分，我们给定加分的分值是a6,那么我们可以得到申请人的综合成绩是Q=0.043a1+0.201a2+0.201a3+0.469a4+0.086a5
13、+a6。其中：A6=，即获得过奖或者发表过论文的得分是a6,没有的则不加分因此我们得到最终评价结果Q值越大，那么申请人录取的可能性就越大。（二）问题二的模型的建立与求解诚如我们所知，我们申请的学校越多，那我们录取的机会就越大，但我们很清楚，申请学校我们需要缴纳学校的申请费、邮寄费、GRE成绩送分费用、TOEFL成绩送分费用等等，现在我们每申请一个学校需要的资金是c元人民币，我们希望用较少的钱能够上学，在实际应用中，我们不能保证一定被录取，那我们利用概率学知识，用录取学校的期望数量来表示我们能够申请成功的学校数量，由第一问我们得到结果，录取的可能性是Q，我们综合考虑学校的录取率和学生的Q值，我们
14、约定，申请人成功的概率是P，故我们建立线性规划模型来求最优解如下：目标函数约束条件根据这个线性规划模型，我们能够对模型求解如下：由约束条件我们可以得到又因为，故有，即有，我们要使得z尽可能的小，并且m必须是个整数，即我们得到最优解，且m=1,2n模型的检验与分析：我们通过查阅资料（附录），知道每申请一个学校需要的资金是1000元，在实际我们的报考中，我们一般都会选择一百名以内的大学进行报考，我们统计了前一百多名的美国大学的研究生平均录取率是0.27780，即在本模型中，p=0.2778,c=1000,我们进行求解，可以得出最优解m=4,z=4000,即对于学生平均情况来说，申请四个是一个很好的
15、方案。当然，我们为了验证模型的可靠性，我们分别得到美国大学不同阶段研究生招生的录取率，例如，我们得到：在美国大学排名前二十名中，录取率平均值是0.1386，这样我们得到的最佳的报考数量是八个学校，对前四十名的美国大学是五个，这是对应的平均的情况。根据统计的数据分析，就普通的同学而言，如果你的综合成绩较好，可以适当减少报考的数量，如果你的综合成绩较差，那必须增加报考数量才能使录取的期望大于一个。诚然，就平均情况，对申请人来说，申请四个大学是一个较为合理的数量。（三）、问题三的模型的建立与求解每个大学录取的概率有差异，名牌大学录取的可能性肯定相对较低，差一点的大学录取的可能性一般较高，我们假设第i个大学录取的概率,第i个大学的要想对申请人合理，那就得在报考数量尽量少的情况下使申请人尽量进入好学校。我们用对各个大学的权威排名代表对各个大学的满意程度，因为大学的排名越靠前说明大家对这
