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1、毕 业 论 文2013届 超对称可积系统的玻色化和精确解 学生姓名 学 号 09103118 院 系 数理信息学院 专 业 物理学 指导教师 完成日期 2013年5月25日 超对称可积系统的玻色化和精确解摘 要 在量子场论和非线性方程中，运用超对称几乎是同时进行的。非线性方程进行超对称化扩展后拥有的特性是在超对称变换下系统不变并且在费米场趋向于零时回归到普通方程，进行超对称化扩展的非线性方程是一个玻色场和费米场相耦合系统。超对称方程的重要性已经在众多学者从物理学领域中进行的相关研究里得到充分体现。对超对称方程进行玻色化可以避开因常规方法在处理棘手的反对易费米子领域时所遇到的困难。 本文首先介绍
2、sKdV方程和sIto方程，然后逐步引出两、三个费米子参数的玻色化sKdV方程和sIto方程，最后得到N费米子参数的玻色化sKdV方程和sIto方程。并对这些玻色化的超对称方程利用形变映射法构造其精确解。关键词 超对称方程；玻色化；行波解BOSONIZATION SUPERSYMMETRIC INTEGRABLE SYSTEMS AND THE EXACT SOLUTIONABSTRACT In the quantum field theory and nonlinear equations, using the supersymmetry is almost at the same time
3、.The characteristics of nonlinear equations are supersymmetric extensions with the supersymmetry transformation system unchanged and in the Fermi field tends to zero return to ordinary equation,for the nonlinear equation of supersymmetric extensions is a Bose and Fermi field coupled system.Fully ref
4、lected the importance of the research of supersymmetry equations have been carried from the field of physics in many scholars. For bosonization of supersymmetry equations can be avoided for the conventional method in the treatment of intractable anticommuting fermion fields encountered difficulties.
5、 This paper first presents the sKdV equation and sIto equation,then gradually raises the two or three fermion parameter bosonization of sKdV equation and sIto equation, the N fermion parameters obtained the bosonization of sKdV equation and sIto equation.And these bosonization supersymmetry equation
6、s using the mapping method to construct the exact solution.KEY WORDS Supersymmetry equations;Traveling wave solutions;Bosonization目 录中文摘要I英文摘要II目录III引言11. 两费米子sKdV方程和sIto方程的玻色化研究31.1 两费米子情况下sKdV方程和sIto方程的玻色化31.2形变映射法构造sKdV方程和sIto方程的精确解42. 三费米子sKdV方程和sIto方程的玻色化研究72.1三费米子情况下sKdV方程和sIto方程的玻色化72.2形变映射法构
7、造sKdV方程和sIto方程的精确解83. N费米子sKdV方程和sIto方程的玻色化研究113.1 N费米子情况下sKdV方程和sIto方程的玻色化113.2 形变映射法构造sKdV方程和sIto方程的精确解134. 结论14参考文献14致 谢16III引言 作为一门基础学科的非线性科学主要研究一些在非线性现象中所体现出的共同性质。从二十世纪六十年代以来，非线性科学从相关以非线性为特征的分支学科的基础之上进行了逐步发展。非线性科学被誉为是本世纪自然科学继相对论、量子力学之后的“又一次大革命”。非线性科学所涉及到的学科范围之广是令人惊叹的，自然和社会科学各个领域都能发现的非线性科学使得人们对现
8、实世界的传统看法得到颠覆性的改变。对非线性科学的研究不但在自然科学上有重大的意义，而且对社会科学中相关决策国计民生和利用人类生存环境等问题上也有着不可估量的实际意义。物理学中，非线性的相关问题出现已久。在过去，物理学中研究动力学问题都局限于容易求解的线性系统，然而实际的自然现象和社会现象的动力学规律都需要利用非线性的方程来表示。线性系统所常用的叠加法在非线性系统中想要解决问题是如此困难以致在更多的情况下完全是无效的。在诸多学者对非线性方程的大量研究下，目前，解析方法和数值方法成为了用于求解非线性微分方程的重要手段。随着上个世纪六十年代计算机技术的迅猛发展，人们可以比较简便的用数值方法求得一般非
9、线性方程的精确解。相关的非线性方程内容在物理领域中也随着研究的深入而逐渐丰富。在量子场论和非线性方程中，运用超对称几乎是同时进行的。非线性方程进行超对称化扩展后的特点是在超对称变换下系统不变并且在费米场趋向于零时回归到普通方程。物理领域中，玻色子和费米子具有不同的自旋以及不同的统计性质说明了超对称并不是将一个玻色场和一个费米场进行简单的结合，进行超对称化扩展的非线性方程是一个玻色场和费米场相耦合系统。超对称方程的重要性已经在众多学者从物理学领域中进行的相关研究里得到充分体现。对非线性方程超对称化的研究首先起源于二十世纪七十年代初期由理论物理学家提出的统一场论，随后逐渐发展起来的超分析、超几何、
10、超代数理论都是由数学家基于前者进行的。随着现代科学研究正进行着迅猛发展，近40年以来，人们已经得到了多个超对称化的可积的非线性方程，比较著名的有Korteweg-de Vries(KdV)方程,modified Korteweg-de Vries(mKdV)方程，sine-Gordon方程1，Ito方程以及经典Boussinesq方程2。其中超对称KdV(supersymmetric KdV)方程是已经被人们广泛研究一类重要的有许多超对称推广的系统。它是荷兰数学家Korteweg和他的学生de Vries在1895年研究浅水波运动时所得到的，同时发现的sKdV方程孤立解证明了相应孤子理论的正确
11、性。sKdV系统具有Painlev属性3，是双Hamilton结构4,5，它能够进行Darboux变换6，它具有双线性形式， Backlund变换（BT），Lax对和无穷多守恒定律等性质。求解超对称方程精确解的方法并不是唯一的，如今发展起来的Hopf-Cole变换、逆散射法7,8、双线性Hirota方法9 、齐次平衡法、Backlund变换法、Darboux变换法、常系数Riccati展开法和tanh函数法、dressing方法等都是比较经典的求解方法。其中双线性Hirota方法是由Hirota为了求出KdV方程的多孤子解而在1971年发展起来的一种方法，现已经成为求非线性偏微分方程孤子解最普
12、遍的方法。双线性Hirota方法适用于方程组中多个方程的多孤子求解。这种方法主要将方程通过变量代换化为双线性方程，然后运用摄动理论寻找该方程的孤子解。然而，由于反对易的费米领域会带来一些在处理超对称方程的困难，得到超对称系统的精确解比纯玻色子系统困难得多。正基于此，安德列等人将超对称方程进行玻色化来获得新的可积的玻色系统，如玻色化的supersymmetric KdV(sKdV)方程，supersymmetric Ito(sIto)方程。其本质就是得到消去了费米子的方程组，从而避开反对易费米领域。使得方程的求解简化。 N = 1时sKdV方程的形式， （0-1） 通过扩展经典的时空（x，t）建
13、立一个超时空（，x，t），其中是格拉斯曼变量，u是一个费米子场。 （0-2）这导致了一个非平凡的结果 (0-3)其中 是协变导数，方程（0-3）成为： （0-4） （0-5）其中u和是玻色子和费米子各自组成的领域，在公式（0-4）(0-5)中消去，这仍然是通常的经典的KdV方程。众所周知的Ito方程为: (0-6)这是第一次提出的Ito方程和它的双线性Backlund变换，Lax对和多孤子等得到的解决方案10。由于Ito方程具有一个孤立子方程的典型特性，大量对Ito方程的研究已经进行。这个可积的方程，如Kac-Moody代数、双Hamilton结构、非线性叠加公式可积等性质得到了进一步的发现。最近，超对称Ito方程的一个，两个和三个孤子解已经得到。N=1时slto方程为： （0-7）其中是协变导数。它是在通常的空间变量（x，t）上所建立的超时空变量（，x, t），是格拉斯曼变量，u是一个费米场。组件（0-7）的版本成为： （0-8） （0-9）其中u和分别是玻色子和费米子组件领域。当费米子领域消失，超对称系统就退化为已知的经典方程（0-6）。本文下面章节将逐步引出两个和三个费米子的玻色化sKdV方程和sIto方程，最后得到N个费米子参数的玻色化sKdV方程和sIto方程
