《2018学年浙江省台州市高三上学期期末质量评估数学试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018学年浙江省台州市高三上学期期末质量评估数学试题（解析版）（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2018届浙江省台州市高三上学期期末质量评估数学试题（解析版）选择题部分（共40分）一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1. 设集合，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为，,所以，故选B.2. 若复数（为虚数单位），则A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为,所以 ，故选C.3. 已知为锐角，且，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，故选D.4. 已知，则“”是“”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为时，“”不成立，所以充分
2、性不成立；当“”成立时，,可得，即“”成立，所以必要性成立，由此“”是“”的必要不充分条件，故选B.5. 已知数列满足，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为，所以 ，所以 ，故选C.6. 有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是A. B. C. D. 【答案】D【解析】第一步，老师站中间，分别选一个男生与一个女生站在老师两边，共有 种排法；第二步剩余的学生全排列，共有种排法，所以根据分步计数乘法原理可得，符合题意的排法共有 种，故选D.7. 已知实数满足不等式组则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】
3、D【解析】画出表示的可行域，如图，表示可行域内的动点到距离的平方，由图可知在处取最小值，在处取最大值，取值范围是，故选D.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8. 已知函数若函数在恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数在恰有两个不同的零点，等价于与的图象恰有两个不同的交点，
4、画出函数的图象，如图，的图象是过定点斜率为的直线，当直线经过点时，直线与的图象恰有两个交点，此时， ，当直线经过点 时直线与的图象恰有三个交点，直线在旋转过程中与的图象恰有两个交点，斜率在内变化，所以，实数的取值范围是.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就
5、是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .9. 已知，是两个非零向量，且，则的最大值为A. B. C. 4 D. 【答案】B【解析】, ,，令,则，令，得当时，当时，当时，取得最大值，故选B.10. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】1，若，则，；,2，若，设，（1）时，由得，在上递增，只需，得；（2）时，在上递增，在上递减，由，得，可得；（3）当时，在上递增，；3，若，（1）时，不合题意；（2），在上递减，在上递增，可得，综上所述，当时，故选A.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、分类讨论思想及方程的根与系数的关系，
6、 属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.非选择题部分（共110分）二、填空题: 本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。11. 双曲线的离心率为_，渐近线方程为_.【答案】 (1). (2). 【解析】双曲线中， ，渐近线方程为，故答案为（1），（2）.12. 已知随机变量的分布列为:则_，_.【
7、答案】 (1). (2). 【解析】由题意， ， ，故答案为（1），（2）.13. 某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为_ ；表面积为_.【答案】 (1). (2). 【解析】由三视图可知，该四面体的直观图为 图中正方体的棱长 ，四面体的体积为 ，表面积为 ，故答案为（1），（2）.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影
8、响.14. 若的展开式中所有项的系数之和为，则_，含项的系数是_（用数字作答）.【答案】 (1). (2). 【解析】 的展开式中所有项的系数之和为， 项的系数是 ，故答案为（1），（2）.15. 当时，的最小值为，则实数的值为_.【答案】【解析】因为当时， ，的最小值为，所以可得 ，故答案为.16. 在中，内角所对的边为，点是其外接圆上的任意一点，若，则的最大值为_.【答案】【解析】以的中点为原点，以为轴，为轴，建立坐标系，则，可得外接圆圆心为，半径为，圆方程为，设 ， ，故答案为. 17. 如图，在棱长为的正四面体中，动点在侧面内，底面，垂足为，若，则长度的最小值为_.【答案】【解析】作于
9、，连接，则为二面角的平面角，设中点为在的射影为为的中心），则也是二面角的平面角， ，即是到定点与定直线等距离的动点轨迹，即的轨迹是以为准线，以为焦点的抛物线，的中点是抛物线顶点，到的距离就是的最小值，由余弦定理可知， ，故答案为.三、解答题: 本大题共5小题, 共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。18. 已知函数,为常数），且，（）求的单调递增区间；（）当时，求函数的最大值与最小值【答案】（1）递增区间为；（2）最大值为，最小值为【解析】试题分析：（）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式可得，由，得故，解不等式可得的单调递增区间；（）由（）得， 由得：. ，故在上的最大值为，最
10、小值为试题解析：（）由题得：，由，得故， ，当时,的单调递增,可得，的单调递增区间为； （）由（）得， 由得：. ，故在上的最大值为，最小值为19. 如图，正方形的边长为，点，分别为，的中点，将，分别沿，折起，使，两点重合于点，连接（）求证:平面； （）求与平面所成角的正弦值【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（），平面，又平面,由已知可得，平面；（）由面面垂直的性质定理可得为与平面所成角，在中，从而可得与平面所成角的正弦值.试题解析：（），平面，又平面,由已知可得，平面； （）由（）知平面平面，则为与平面所成角，设，交于点，连，则， 又平面， 平面， 在中，与平面所成角的正弦值为【方
11、法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理及线面角的求法，属于难题. 证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.20. 已知函数（）求函数的单调区间；（）当时，恒成立，求的取值范围【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为（2）【解析】试题分析：（）求出，令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（）时，恒成立，等价于，利用导数研究函数的单调性，求出，从而可得结果.试题解析：（）函数的定义域为，解得或，为减函数，解得，为增函数，
12、 的单调递减区间为，单调递增区间为； （）在时恒成立， 令，则，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增， ，【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性进而求最值以及不等式恒成立问题，属于难题. 对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式，便于问题的解决. 但要注意分离参数法不是万能的, 如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂, 性质很难研究, 就不要使用分离参数法.21. 已知椭圆:的左右焦点分别为，左顶点为，点在椭圆上，且的面积为（）求椭圆的方程；
13、（）过原点且与轴不重合的直线交椭圆于，两点，直线分别与轴交于点求证：以为直径的圆恒过焦点，并求出面积的取值范围【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（）根据点在椭圆上，且的面积为，结合性质 ，列出关于、 、的方程组，求出、 、，即可得椭圆的方程；（）直线的方程为，设点（不妨设），则点，由，消去得，所以，可证明，同理，则以为直径的圆恒过焦点，可得，进而可得结果.试题解析：（）， 又点在椭圆上，解得，或（舍去），又，所以椭圆的方程为； （）， 方法一：当直线的斜率不存在时，为短轴的两个端点，则， ，则以为直径的圆恒过焦点， 当的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，设点（不妨设），则点，由，消去得，
14、所以， 所以直线的方程为， 因为直线与轴交于点，令得，即点，同理可得点， ，同理，则以为直径的圆恒过焦点， 当的斜率存在且不为零时，面积为，又当直线的斜率不存在时，面积为，面积的取值范围是 方法二：当，不为短轴的两个端点时，设，则，由点在椭圆上， ，所以直线的方程为，令得，即点，同理可得点， 以为直径的圆可化为，代入，化简得，令解得以为直径的圆恒过焦点， ，又，,面积为，当，为短轴的两个端点时，面积为，面积的取值范围是22. 数列，中，为数列的前项和，且满足，（）求，的通项公式；（）求证：；（）令，求证：【答案】（1），（2）见解析（3）见解析【解析】试题分析：（）由，可得当时，两式相减可化为，利用累乘法可得的通项公式，进而可得的通项公式；（）先证明，结合等比数列的求和公式，利用放缩法可证明；（）化简 ，先证明在上单调递
