《第2章 弹性力学的基本知识》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第2章 弹性力学的基本知识（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2章 弹性力学的基本知识,2.1 弹性力学的基本概念,2.2 弹性力学的基本方程,2.3 弹性力学的平面问题,2.1 弹性力学的基本概念,有限元的基本理论是建立在弹性力学有限单元法的基础上,在经典弹性力学的基本概念和基本方程上建立的。,研究对象,材料力学研究杆件(如杆、梁、柱和轴)的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等。,结构力学在材料力学基础上研究杆系结构(如桁架、刚架等)。,弹性力学研究各种形状的弹性体，如杆件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。 研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、 形变和位移。,杆系结构,研究弹性体的力学，有材料力学、结构力学、弹性力学。,研
2、究方法,在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面的条件，建立三套方程; 在边界s上考虑受力或约束条件，建立应力或位移边界条件;并在边界条件下求解上述方程，得出较精确的解答。,也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的：常常引用近似的计算假设（如平面 截面假设）来简化问题，并在许多方面进行了近似的处理。,因此材料力学建立的是近似理论，得出的是近似的解答。从其精度来看，材力解法只能 适用于杆件形状的结构。,弹力研究方法,材力研究方法,单元体的受力应力理论(平衡方程)； 单元体的变形变形几何理论(几何方程); 单元体受力与变形间的关系本构理论(物理方程)。,建立起普遍适用的理论与解法。,在受力物体
3、内任取一点（单元体）为研究对象。, 弹塑性力学研究问题的基本方法,弹性力学的基本假设,（1）连续性假设：假定物质充满了物体所占据的全部空间，不留下,任何空隙。这是连续介质力学（包括弹塑性力学）的一条基本 假设。,（2）均匀性假设：假定物体内各点处材料均相同。,（3）各向同性假设：假定物体内各点处各个方向上的物理性质相同。,(4)完全弹性假设:胡可定律,（5）几何假设小变形假设： 变形产生的位移与物体的尺寸相比 ,是微小的。,关于外力、应力、应变和位移的定义,分为体积力（体力）和表面力（面力）两类。有限元分析也使用集中力这一概念。,1.外力,（定义）分布在物体体积内的力，如重力、惯性力等。,（表
4、示）以单位体积内所受的力来量度，Px，Py，Pz（单位） 力长度 -3（符号）坐标正向为正。,（定义）分布于物体表面上的力，如接触力，压力容器所受内压等。 （表示）以单位面积所受的力来量度，qx qy qz （单位） 力长度 -2, Pa 、 MPa（符号）坐标正向为正。,面力,体力,2. 应力,假想切开物体，截面两边互相作用的力（合力和合力矩)，称为内力。,应力：受力物体内某点某微截面上内力的分布集度。,A0,（量纲） 力长度 -2 , (表示）x x面上沿x向正应力，xy x面上沿y向切应力。 （符号）应力成对出现，坐标面上的应力的方向以正面正向，负面负向为正。,根据剪应力互等定理知,共计
5、六个独立的应力分量。,应力列阵,一点的应力状态,围绕一点p做出正六面体,六个面：正面，负面,物体形状的改变可以用它各部分的长度改变和角度改变来表示。,切应变xy , yz ,zx 以直角减小为正, 用弧度表示。,3. 应变,正应变和切应变都是无因次的量,应变列阵,正应变x ，y ， z 以伸长为正。,在P点沿x、y、z三个正方向取微线段PA、PB、PC。变形后，这三条线段的长度和它们之间的直角都会有所改变。,以通过一点的沿坐标正向微分线段的正应变和 切（剪）应变 来表示。,4. 位移,刚性位移：反映物体整体位置的变动；,变形位移：反映物体的形状和尺寸发生变化。,研究物体在外力作用下的变形规律，
6、只需研究物体内各点的相对位置变动情况，即研究变形位移。,位移列阵,一、几何方程,2.2 弹性力学基本方程,应变分量和位移分量的关系,二、物理方程,若弹性体只有单向拉伸或压缩时,根据材料力学胡克定律:,X方向拉伸时,y和z方向必然伴随横向收缩,则,剪应力与对应的剪应变之比,G、E和的关系:,在三维情况下,由应变求应力的方程:,写成矩阵形式:,=,简写为:,=D,其中:D称为弹性矩阵,由应力求应变的弹性方程:,写成矩阵形式:,=,=,显然: =D-1,三、平衡方程,弹性体中任一点满足平衡方程, 在给定边界上满足应力边界条件。,由微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；由微分线段上应变与位移的几何关系，
7、建立几何方程； 由应力与形变之间的物理关系,建立物理方程；,在给定面力的边界S上，建立应力边界条件;在给定约束的边界Su上，建立位移边界条件。,弹力的研究方法,在边界 S 面上,在边界条件下求解上述方程，15个未知量，15个方程，得出应力、应变和位移。,在体积V内,2.3 弹性力学的平面问题,弹性力学可分为空间问题和平面问题。,当弹性体具有某种特殊形状，并且承受的是某种特殊外力时，空间问题可能会近似地简化为平面问题。这样处理，分析和计算的工作量会大大减少。,平面问题可分为平面应力问题和平面应变问题。,一、平面应力问题,厚度远小于其他两方向尺寸的一等厚薄平板。,取平分厚度的平面（称为中面）作为xOy坐标面。设在板面上不受任何外力，全部面力和体力都平行于中面，且沿厚度不变。,在平面应力问题中，虽有 ，但 0,二、平面应变问题,设有一等截面的无限长柱体，其受力特点是所有面力和体力都平行于横截面，且沿其长度方向不变。,若其端部因受约束而在z轴方向不能移动，则每个横截面上各点Z向位移分量W均为零，且位移分量u与v仅是坐标x、y的函数。,物理方程:,FEM中应用的方程：,几何方程:,其中D为弹性矩阵，对于平面应力问题是:,对于平面应变问题：将上式弹性矩阵中的E换成 换成,平衡方程,8个未知量，8个方程。,
