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1、关于平面几何中与圆有关的证明南宁市第二中学高2010级8班 杨昭华指导老师 徐华（广西南宁市云景路66号南宁市第二中学 邮编530029 联系电话13768306903）在平面几何的证明题中，有很大一部分是与圆有关的。熟练掌握并灵活运用圆的各种定理，可以很快地找到题目的突破口，从而把已知条件与所求结论联系起来，快速解题。另外，倒推即分析法，在平面几何证明题中是一个有效的途径。所以，在下面的几道例题中，我将运用分析法和圆的性质定理谈谈我关于含圆的平面几何证明题证明的理解。与圆有关的证明题可以分为两类，即内切圆和外接圆。首先，是内切圆部分。一、 内切圆（1）边的关系例1 设D和E是ABC的边BC上
2、的两点，使得BAD=CAE。又设M和N分别是ABD和ACE的内切圆与BC的切点。求证证明：由题意，设MB=x, MD=y, NE=p, NC=q则只需证明只需证明只需证明BD*pq=EC*xy由三角形内切圆性质可作图：设x+y=lxy=这一步是整道题中最关键的一步！当使用分析法倒推到无法继续的时候，正是因为很好地运用了内切圆的性质，使得本题出现了新的突破口，让后面的解答过程快速而清晰！4xy=只需证明BD*4pq=EC*4xy只需证明BD=EC只需证明BD-2nbcosCAE-=EC-2cmcosBAD-只需证明BD(2+2cosCAE)nb= EC(2+2cosBAD)mc只需证明BD*n*
3、b=EC*m*c只需证明BDn*b*sinCAE=ECm*c*BAD只需证明BD*SACE=EC*SABD只需证明SACE/ SABD=EC/BD证毕。【分析】本题的关键在于使用了内切圆外三角形各边的性质，此题的结论给我们在解决三角形各边关系的问题时有了新的出发点，充分利用内切圆各边关系进行代换。（2）角的关系例2 已知直线l与单位圆S相切于点P，点A与圆S在l的同侧，且A到l的距离为h（h2），从点A作S地两条切线，分别与l交与B,C两点。求线段PB与线段PC的长度之乘积。解：SABC=（x+y）*1+(y+z)*1+(x+z)*1=x+y+z又SABC= （x+y）*h第一步，由题目所给条
4、件判断出此为三角形内切圆，而题目所求的是三角形边长的乘积，所以很自然的要把各边之间的关系找出来。利用算两次的方法，由三角形面积得到各边与h的关系。（x+y）*h= x+y+ztan= ,tan= , tan=z又tan=tan(+)第二步，得到了三角形各边与h的关系后，再比对所求的式子xy与的差异，需要消去z。但再找到边的关系很难，而此时我们可以找到、的正切值。所以可以从三角函数值入手。在这里，内切圆角的性质使我们找到一个新的等式，即+=。=(tan+tan)/(1- tan*tan)=(x+y)/(xy-1)z=(x+y)/(xy-1)连立可解得：xy=【分析】这一题中的两步很好地体现了内切
5、圆的性质，第一步从边的关系入手，第二步从角的关系入手，把内切圆外三角形边、角关系发挥得淋漓尽致。在此题中，把垂线画出来也可以给我们很大的启示，所以做平面几何证明题时标图是很重要的。我们由此题还可以得到一个内切圆常用的公式，即S=p*r（p为三角形周长的一半，r为三角形内切圆半径）。以后可以由面积关系来寻找各边关系。【总结】在平面几何关于内切圆问题的证明中，一般会用到如下性质：（1） 作垂线后相邻垂线之间所夹两边相等。推论：xy=（x,y为垂线左右两条边，x+y=l,m,n为三角形除l之外另两边边长）（2） S=p*r（p为三角形周长的一半，r为三角形内切圆半径）（3） 内切圆圆心与三角形各顶点
6、连线两侧两个角相等。其中，（1）、（2）用于寻找边的关系，（3）用于寻找角的关系。二、 外接圆（1） 圆等弦所对等角，托勒密定理例1 在ABC中，BCCAAB,在BC上取点D，在BA的延长线上取点E，使得BD=BE=AC,设BED的外接圆交线段AC于P，直线BP交ABC外接圆于另一点Q（不同于B），证明AQ+QC=BP证明：设BD=BE=AC=t，AQ=a，BP=b， QC=c在四边形EPDB中，由托勒密定理得，b*ED=EP*t + PD*t, 由于题目所求的是三边的关系，在圆中有很多圆内接四边形，所以想到了托勒密定理。找到合适的四边形EPDB，其中含有已知边t和未知边b。要证明b=a+c又
7、在圆O中，PD所对的角，1=3在圆P中，QC所对的角，2=31=2=3同理可得4=5=6在得到这个等式之后，引进了ED、EP、PD，所以找到这个三角形，寻找角度及相似的关系。AQCEPDEP=ak, PD=ck, ED=tk,有了相似之后，可以得到三条未知边的关系，此时引进比例系数k，可以更好地代入式，从而得到所求结论。把代入得：b*tk=ak*t+ck*tb=a+c证毕【分析】此题是一道很好的外接圆性质的综合题。运用到了托勒密定理，同弦所对圆周角相等的定理，并且运用到了相似三角形各边变换的技巧。可见托勒密定理和角度相等在外接圆的证明题里十分重要。（2） 圆割线定理例2 如图，在ABC中，D为
8、BC中点，点M在边BC上，且满足BAM=CAD，记CAM的外接圆与AB边的另一交点为K，BAM的外接圆与AC边的另一交点为L。求证：KLBC证明：要证明KLBC只需证明BK/BA=CL/CA只需证明（BK*BA）/(CL*CA)=(BA*BA)/(CA*CA)只需证明（BM*BC）/(CM*CB) =(BA*BA)/(CA*CA)由与这个等式不便于证明，所以可以由圆割线定理进行如上变换。经过变换之后下面的思路变得十分顺畅。只需证明SMBA/SMCA=(BA*BA)/(CA*CA)只需证明(AB*m*sinBAM)/( AC*m*sinCAM)= (BA*BA)/(CA*CA)只需证明AC* s
9、inBAM=AB* sinCAM又BAM=CAD, CAM=BAD只需证明h1=h2只需证明CEDBFD只需BD=DC又D为BC中点证毕。 【分析】在有外接圆的三角形中，要证明两边平行问题，可以想到各边成比例。而各边成比例用圆割线定理最为简便。这又给我们提供了一种证明平行问题的方法。【总结】在平面几何关于外接圆问题的证明中，一般会用到如下性质：（1） 托勒密定理：圆内接四边形ABCD中，AB*CD+AD*BC=AC*BD；（2） 圆中各相等的圆周角、圆心角；（3） 圆割线定理而在一些凸多边形证明中，找到共圆各点，可以运用外接圆的许多性质及结论，使得证明简化。总之，在平面几何中与圆有关的证明题里，大致分为内切圆和外接圆两种。掌握性质定理则尤为重要。而把一些不含圆的证明转换为含圆，同样可以简化证明过程。
