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1、 2002年-2011年浙江省高考数学试题（理）分类解析汇编专题5：平面向量、立体几何锦元数学工作室 编辑一、选择题1. （全国2002年理5分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是【 】（A）（B）（C）（D）【答案】D。【考点】棱锥和球的体积，同角三角函数关系式，倍角公式。【分析】设圆锥的半径为R，高为H，母线与轴所成角为，求出圆锥的高，利用体积相等，求出的余弦值即可：圆锥的高为 H=，圆锥的体积 V圆锥=，半球的体积 V半球=。V圆锥= V半球，即：，。故选D。2.（全国2002年理5分）正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为，则这
2、个棱柱侧面对角线与所成的角是【 】（A）（B）（C）（D）【答案】B。【考点】异面直线及其所成的角。【分析】由于棱柱侧面对角线与不在同一平面内，将两条直线移到平面内，连接，由E1FC1B，得与所成的角等于FE1D。解三角形即可： 正六棱柱的底面边长E1F1=1，侧棱长FF1=，FD=，E1D=E1F=。 DFE1是等边三角形。FE1D=60，即与所成的角是60。故选B。3.（全国2003年理5分）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是【 】 （A） （B） （C） （D）【答案】B。【考点】二次函数的最值。【分析】将全面积表示成底面半径的函数，即可求出函数的最
3、大值：设内接圆柱的底面半径为r，高为h，全面积为S，则有，。当时，S取的最大值。故选B。4.（全国2003年理5分）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为【 】AB4CD【答案】A。【考点】球的表面积【分析】如图1，在四面体的一个面上，棱长AC=，EAC=300，AE=。 如图2，在DAE的截面上，AD=，AE=，则DE=。 设球的半径为=DO=AO，则OE=。 由AO2=AE2OE2得，解得，。 因此，此球的表面积为。故选A。5.（浙江2004年理5分）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为，
4、则=【 】(A) (B) (C) (D)【答案】D。【考点】直线与平面所成的角。【分析】如图作DE面AA1C1C于E，连接AE，则AD与平面AA1C1C所成的角为是DAE。正三棱柱ABCA1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，在RtDAE中，AD=，DE=。故选D。6.（浙江2005年理5分）设、 为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l，m，有如下的两个命题：若，则lm；若lm，则那么【 】(A) 是真命题，是假命题 (B) 是假命题，是真命题(C) 都是真命题 (D) 都是假命题【答案】D。【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系。【分析】根据
5、空间空间中线面关系的判定及性质定理逐个分析题目中的两个结论，即可求出答案：若，则l与m可能平行也可能异面，故为假命题；若lm时，与可能平行也可能相交，故为假命题。都是假命题。故选D。7.（浙江2005年理5分）已知向量，|1，对任意tR，恒有|t|，则【 】(A) (B) () (C) () (D) ()()【答案】C。【考点】向量的模。【分析】已知向量，|1，对任意tR，恒有|t|，即|t|2|2 t22t210，=(2)24(21)0即(1)20。1=0。2=0。()=0。()。故选C。8.（浙江2006年理5分）如图，O是半径为l的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E
6、、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是【 】(A) (B) (C) (D)【答案】B。【考点】球面距离及相关计算。【分析】如图，过E、F做AO的垂面交AO于G，则EG=FG =1sin，EGF=。 EOF=。点E、F在该球面上的球面距离为。故选B。9.（浙江2007年理5分）若P两条异面直线外的任意一点，则【 】过点P有且仅有一条直线与都平行过点P有且仅有一条直线与都垂直过点P有且仅有一条直线与都相交过点P有且仅有一条直线与都异面【答案】B。【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】设过点P的直线为，若与、都平行，则、平行，与已知矛盾，故选项A错误。由于、m只有
7、惟一的公垂线，而过点P与公垂线平行的直线只有一条，故B正确。对于选项C、D可参考右图的正方体，设AD为直线，为直线；若点P在P1点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项C错误。若P在P2点，则由图中可知直线均与、异面，故选项D错误。故选B。10.（浙江2007年理5分）若非零向量满足，则【 】 【答案】C。【考点】向量的加法及其几何意义。【分析】由于是非零向量，则必有，故上式中等号不成立 。 。故选C。11.（浙江2008年理5分）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是【 】 A1 B2 C D【答案】C。【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。【分析】是平面内两
8、个互相垂直的单位向量，|。，为和的夹角，。，的最大值是。故选C。12.（浙江2009年理5分）在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是【 】A B C D 【答案】C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】如图，取BC中点E，连接DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE平面BB1C1C，故ADE为AD与平面BB1C1C所成的角。设各棱长为，则AE=，DE=，tanADE=。ADE=60，即AD与平面BB1C1C所成角的大小是60。故选C。13.（浙江2009年理5分）设向量，满足：，以，的模
9、为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为【 】.5.u.c.o.m A B C D【答案】B。【考点】直线与圆相交的性质，向量的模，平面向量数量积的运算。【分析】向量，此三角形为直角三角形，即三边长分别为3，4，5，从而可知其内切圆半径为1。对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现。故选B。14.（浙江2010年理5分）设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是【 】（A）若，则 （B）若，则（C）若，则 （D）若，则【答案】B。【考点】立体几何中线面之间的位置
10、关系及其中的公理和判定定理。【分析】对选项逐个检查，根据线面垂直的判定定理，垂直于平面的两条相交直线才行，故A错；根据线面垂直的性质定理，两条平行直线中的一条垂直于平面，另一条也垂直于这个平面，故B正确；若，则或异面，故C错；平行于同一平面的两直线可能平行、异面、相交，故D错。故选B。15.（浙江2011年理5分）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是【 】【答案】D。【考点】由三视图还原实物图。【分析】由正视图可排除A、B选项；由俯视图可排除C选项.。故选D。16.（浙江2011年理5分）下列命题中错误的是【 】（A）如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面（B）如果平面不
11、垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面（C）如果平面，平面，那么（D）如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面【答案】D。【考点】平面与平面垂直的性质。【分析】由题意可知： A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；B、假若平面内存在直线垂直于平面，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直故此命题成立；C、结合面面垂直的性质可以分别在、内作异于l的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平行，又两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；D、举反例：教室内侧墙
12、面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的故此命题错误故选D。二、填空题1. （全国2003年理4分）下列5个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出面MNP的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）【答案】。【考点】直线与平面垂直的判定。【分析】由直线与平面垂直的判定可得，图形中的面MNP。2.（浙江2004年理4分）已知平面上三点A、B、C满足，则的值等于.【答案】25。【考点】平面向量数量积的运算。【分析】由可得，即 。3.（浙江2004年理4分）已知平面和平面交于直线，P是空间一点，PA，垂足为A，PB，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点
13、A在内的射影与点B在内的射影重合，则点P到的距离为.【答案】。【考点】点、线、面间的距离计算。【分析】点A在内的射影与点B在内的射影重合，。设射影为点C，点P到的距离为PC的长，而PC为矩形PACB的对角线，PC= ，即点P到的距离为。4.（浙江2005年理4分）设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DEAB于E(如图)现将ADE沿DE折起，使二面角ADEB为45，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于【答案】90。【考点】异面直线及其所成的角。【分析】先取AB的中点P，将MN平移到PB，则锐角APB就是异面直线MN与AE所成的角，在三角形ABE中再利用等腰直角三角形的中线就是高这一原理即可求出所成角：如图，取AE的中点P，连接PB，PM，PMED，EDBC，PMBN，且PM=BN，四边形PMNB为平行四边形。MNPB。ABEB，AEB=45，BPAE。由MNPB，得AEMN。M、N的连线与AE所成角的大小等于90。5.（浙江2006年理4分）设向量满
