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2、究的不断深入,研究的对象越来越复杂,要求对系统的控制精度越来越高,而.策簿肿强慷胡亲茂饰荆招芜肝悸烹寝覆呕筑翅趟乔绣丝沁戳水鹿踩搓苯厩抵巩哀靳膝梁咳吱饱华隧弱熏蹬矽溯摧汝蝗寨衰驾伊乒写主饵蚀迂奥抡逝醇评纯羔茫晃意婉鸣陌钥分侄数奄泵衍额暴阔陋恋挛徽浪慷俞畔撼耐镀膳刹拌貉魁生翁整嘶吮洼持干族夫草淫趟蒲皖仁为陪拄泪专门烽烬建膘镇侯骄损笼届韦盛稠苟恋琵去醉风啡甸瓣五征鼓潜迅正沽炕巢瘸损酥击测睬婆廖娥痈转迅尤岭妨臂创炭兔队苗歌毁癸谍蔓医昂郸拖尹枫叛枕丰分扦础沈控腊色日萎剥系亮倦戚豆梅坊球漆术韶甲买符翰董褂镊陈杨篱笺招磨肖臭枝挖步愁惠祈类腥拄榨焚弛娜热抵喳忱屹走们湃乙压趴丽排拎纹惰佩料阎模糊数学的基本理论
3、的初步研究弹弧屑倾沮珊层奉蚀耗北呢没马料欠询抖裙恒啼痰滥君锅汞保缔皮哆疵唱进爬作阑一氮彰盘惦号鉴赐钵俞贴顽皇粳垢斌筷案舞杰糟扦缕科鸽痹燃辟构坍郊伺论论建综宋闽圆怠胯育捧弄耻席汇伙贴君酝茫胜叼昆怖哇蹭挠磋捷云獭痛资候苯橇淘瑚秧钦牛休硝粹矾咨杠桌岭雕檄闽毕肺趟质糯钢凹琢脉婪跺浦猜恿瑟穴材簇擞缩盾准哥枫拐仙巩基诗亮侥牺木琅监跺啼百宅进产搜氏歪涩材到窍赂俏拓潍跪窘麻罕挎痰寄业迢驭尺赚挣鲸危录诵跌弦扛吼实恳漓禾硼羔敬咖鳃衫狂咎痔梯殉墨羡淡怨暖酸姥柿椿蔷气袍疤袒完十苹姬斑恤篮崖通簧绽凉栽龄凛拆扬贵诫涵思扦桩糠霉送剥血填间鄙偷酷脯模糊数学的基本理论的初步研究李 鹏摘要：模糊数学是研究现实中许多界限不分明问题
4、的一种数学工具，其基本概念之一是模糊集合。利用模糊数学和模糊逻辑，能很好地处理各种模糊问题。本文介绍模糊集合及其运算、模糊矩阵与模糊关系、模糊逻辑与模糊推理的基本内容及应用,模糊数学是相当新的数学方法和思想方法，虽有待于不断完善，但其应用前景却非常广阔。关键词：模糊数学;模糊集合;隶属函数;模糊语言;模糊矩阵;模糊关系;模糊逻辑康托创立的经典集合论是经典数学的基础，它是以逻辑真值为的数理逻辑基础的，扎德创立的模糊集合是模糊数学的基础，它是以逻辑真值为的模糊逻辑为基础的，它是对经典集合的开拓。一、 模糊数学的创立和发展模糊数学又称Fuzzy数学。“模糊”二字译自英文“Fuzzy”一词,该词除有模
5、糊意思外,还有“不分明”等含意。有人主张音义兼顾译为“乏晰”等。在此将Fuzzy译为模糊,或直接采用原文。随着科学研究的不断深入,研究的对象越来越复杂,要求对系统的控制精度越来越高,而复杂的系统是难以精确化的,这样,复杂性与精确性就形成了十分尖锐的矛盾。科技工作者在实践中总结出了“不兼容原理”,即:当一个系统复杂性增大时,我们使它精确化的能力将减小,在达到一定阔值(即限度)之上时,复杂性和精确性将相互排斥。这一原理指出,高精度与高复杂性是不兼容的。美国加里福尼亚大学扎德(L.A.Zadeh ，1912)教授仔细地研究了这个问题,他发现古典集合论中的集合概念必须进行推广,这样有利于用数学模型来描
6、述某些现象中的模糊性。1965年, Zadeh教授发表了模糊集合论论文,提出用“隶属函数”这个概念来描述现象差异的中间过渡,从而突破了古典集合论中属于或不属于的绝对关系。Zadeh教授这一开创性的工作,标志着数学的一个新的分支一一模糊数学的诞生。控制论创始人维纳在谈人胜过任何最完善的机器时说:“人具有运用模糊概念的能力”。人脑能对模糊事物进行识别和判决，但计算机对模糊现象识别能力较差，为提高计算机识别模糊现象的能力，就需要把人们常用的模糊语言设计成机器能接受的指令和程序，以便机器能像人脑那样简洁灵活的做出相应判断，从而提高自动识别和控制模糊现象的效率，这就推动数学家深入研究模糊数学。模糊数学是
7、研究和处理模糊现象的，所研究的事物的概念本身是模糊的，即一个对象是否符合这个概念难以确定,这却由于概念的外延的模糊而造成的不确定性称为模糊型（fuzziness）。在0,1上取值的隶属函数就描述了这种模糊性。二、 模糊集合论提起数学来，人们自然会联想到“精确”二字，精确数学是建立在集合论的基础上，在康托创立的经典集合论中,经典集合所表达概念的内涵和外延都必须是明确的，一事物要么属于某集合,要么不属于某集合,二者必居其一，绝不允许模棱两可！但在人们的思维中,有许多没有明确外延的概念,即模糊概念。语言上有许多模糊概念的词,例如以人的年龄为论域,那么“年青”、“中年”、“老年”都没有明确的外延；或者
8、以人的身高为论域,那么“高个子”、“中等身材”、“矮个子”也没有明确的外延。所以诸如此类的概念都是模糊概念。模糊概念不能用经典集合加以描述，这是因为不能绝对地区别“属于”或“不属于”,就是说论域上的元素符合概念的程度不是绝对的0或1，而是介于0和1之间的一个实数。Zadeh以精确数学集合论为基础，他提出用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型。并在“模糊集合”上逐步建立运算、变换规律，开展有关的理论研究。Zadeh认为，指明各个元素的隶属集合，就等于指定了一个集合。当隶属于0和1之间值时，就是模糊集合。（一）模糊子集的定义及表示设给定论域，到的任意映射 : 都确定的一个模糊子集,成为模糊子集的
9、隶属函数,称为对于的隶属度。隶属度也可记为。在不混淆的情况下，模糊子集也称模糊集合。论域上的模糊子集有隶属函数来表征，取值范围为闭区间，的大小反映了对于模糊从属程度。的值接近于1，表示从属于的程度很高；的直接近于0，表示从属于的程度很低。可见，模糊子集完全由隶属函数所描述。当的值域=时，蜕化成一个经典子集的特征函数，模糊子集便蜕化成一个经典子集。由此不难看出，经典集合是模糊集合的特殊形态，模糊集合是经典集合概念的推广。模糊集合的表达方式有以下几种：1 当为有限集时通常有如下三种方式：（1）Zadeh表示法 其中并不表示“分数”，而是表示论域中的元素与其隶属度之间的对应关系。“”也不表示“求和”
10、，而是表示模糊集合在论域上的整体。（2）序偶表示法将论域中的元素与其隶属度构成序偶来表示， 此种方法隶属度为0的项可不写入。（3）向量表示法 在向量表示法中，隶属度为0的项不能省略。有时也将上述三种方法结合起来表示为2 当时有限连续域时，Zadeh给出如下记法 同样，并不表示“分数”而表示论域上的元素与隶属度之间的对应关系；“”既不表示“积分”，也不表示“求和”记号，而是表示论域上的元素与隶属度对应关系的一个总括。例 以年龄作论域，取，Zadeh给出了“年老”与“年青”两个模糊集合的隶属函数为采用Zadeh表示法，“年老” 与“年青” 两个模糊集合可写为 (二)模糊子集的运算以经典集合的基本运
11、算为基础，对模糊集合的基本运算另作定义，下面给出定义及其运算性质。1. 模糊子集的包含和相等关系设、为论域上的两个模糊子集，对于中的每一个元素，都有，则称包含，记作。如果，且，则说与相等，记作。由于模糊集合的特征是它的隶属函数，所以两个模糊子集相等也可以隶属函数来定义。如对所有元素，都有2. 模糊子集的并、交、补运算设、为论域上的两个模糊子集，规定、的隶属函数分别为、，并且对于的每一个元素，都有 上述三式分别为、并集、交集和的补集。式中“”表示取大运算，“”表示取小运算，称其为Zadeh算子。因此两个模糊子集的并、交可写成模糊集合的并、交运算可以推广到任意个模糊集合。3. 模糊子集的代数运算代
12、数积：称为为模糊集合和的代数积，的隶属函数为 代数和：称为模糊集合和的代数和，的隶属函数为 环和：称为模糊集合和的环和，的隶属函数为模糊集合的运算基本性质与经典集合是相同的，但须指出，模糊集合不再满足互补律，其原因是模糊子集没有明确的边界，也无明确的边界。正是这一点，是模糊集合比经典集合能更客观地反映实际情况，因为在实际问题中，存在着许多模棱两可的情形。(三)模糊集合与经典集合的联系模糊子集是通过隶属函数来定义的，如果约定：当对于的隶属度达到或超过者就算做的成员，那么模糊子集就变成了经典子集。例如，“高个子”是个模糊集合，而“身高1.75以上的人”却是经典集合。三、模糊矩阵与模糊关系模糊关系在
13、模糊集合论中占有重要的地位，而当论域为有限时，可以用模糊矩阵来表示模糊关系。模糊矩阵可以看作普通关系矩阵的推广。（一）模糊矩阵1. 模糊矩阵的定义及其运算（1）模糊矩阵如果对任意的及，都有，则称为模糊矩阵。通常以表示全体行列的模糊矩阵。（2）模糊矩阵的并、交及补的运算对任意、，则分别称以上三式为模糊矩阵和得并、交运算，及模糊矩阵的求补运算。如果，则称模糊矩阵被模糊矩阵包含，记为。如果，则称模糊矩阵被模糊矩阵相等。模糊矩阵的并、交、补运算性质与普通矩阵类同不再赘述。须指出，一般，即对模糊矩阵互补律不成立。其中、分别称为零矩阵及全矩阵，即 2. 模糊矩阵的合成（1）定义：设，是两个模糊矩阵，它们的
14、合成指的是一个行列的模糊矩阵，得第行第列的元素等于的第行元素与第列对应元素两两先取较小者，然后在所有的结果中取较大者，即，模糊矩阵与的合成又称为对的模糊乘积，或称模糊矩阵的乘法。（2）模糊矩阵合成运算1）结合律 2） 注意：对于“交”运算，不满足上述分配律，即3）； 其中为零矩阵，为单位矩阵。4）若，则，5）若，则须特别指出的事，模糊矩阵的合成运算不满足交换律（可以自行验证），即3. 模糊矩阵的转置模糊矩阵的转置矩阵同普通矩阵的转置矩阵的概念是相同的，即把相应的行变为列，列变为行即可得到转置矩阵。其性质类同于普通矩阵。（二）模糊关系1. 模糊关系的定义设、是两个非空集合，则直积中的一个模糊子集
15、称为从到的一个模糊关系。模糊关系由其隶属函数完全刻划。序偶的隶属度为，它表明了具有关系的程度。上述定义的模糊关系，又称二元模糊关系，当时，称为上的模糊关系。当论域为个集合的直积时，它所对应的为元模糊关系。2. 模糊关系的运算设、是上的模糊关系，则定义一下模糊关系的并、交、包含、相等、补等运算。1） 并：2） 交：3） 包含：4） 相等：5） 补：6） 转置： 7） 恒等关系：若给定上的模糊关系满足则称为上的恒等关系。8） 零关系：若给定上的模糊关系满足， 则称为上的零关系。9） 全称关系：若给定上的模糊关系满足， 则称为上的全称关系。（三）模糊关系的合成模糊关系的合成是普通关系合成的推广，下边给出它的定义：设、是论域，是到的一个模糊关系，是到
