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1、xyF1 F2MPOQ抛物线及其性质江苏 郑邦锁1不要把抛物线的标准方程和二次函数的一般形式混为一谈；抛物线的焦点位置取决于哪个变量是一次的及其系数的正负；抛物线标准方程中的“ ”表示焦准距。p举例 1 抛物线 的准线方程为 ，则 的值为2axy2ya（A） （B） （C） （D）88188解析：抛物线的标准方程为： ，其准线方程为：y= - ,a= ，故选 B。yax2 a41举例 2若椭圆 (ab0) 的左、右焦点分别为 F1、F 2，线段 F1F2 被抛物线12yxy2=2bx 的焦点分成 53 的两段，则此椭圆的离心率为 ： (A) (B) (C) (D)16747455解析：抛物线
2、y2=2bx 的焦点为 F（ ，0） ，F 将线段 F1F2 分成 53 的两段，2b（ +c）：（c - ）=5 3 c=2b e= ,选 D。bb5巩固 1点 M(5,3)到抛物线 y=ax2的准线的距离等于 6,那么抛物线的方程是 ( )(A)y=12x2 (B)y= x2 或 y=- x2 (C)y=-36x2 (D)y=12x2 或 y=-36x216巩固 2 若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则 的值为2yp1ypA B C D442.涉及到抛物线上的点到焦点（准线）的距离问题常用定义；有时，抛物线上的点到与准线平行的直线的距离需转化为到准线的距离。举例 1已知 A（3，1）
3、，抛物线 上一点 P（x,y） ，则|PA|+y 的最小值为 。42xy解析：抛物线 的准线为：y= -1，焦点 F（0，1） ，记 P 在直线 y= -1 上的射影为42xyQ，则 y=|PQ|-1=|PF|-1，|PA|+y=|PA|+|PF|-1，问题转化为：求|PA|+|PF|的最小值，易见：|PA|+|PF|AF|=3 ，当且既当 F、P、A 共线时等号成立，故： |PA|+y 的最小值为 2。举例 2已知椭圆 E 的离心率为 e，两焦点为 F1，F 2，抛物线 C 以 F1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲线的一个公共点，若 =e，则 e 的值为：|2A B C D3236解析：记抛
4、物线的准线 交 x 轴于 M，P 在 上的射影ll为 Q，则|F 1M|=|F1F2|=2c，即 的方程为 x= -3c，|PF 2|=|PQ|，又=e，即 =e，F 1 是椭圆的左焦点，|PQ| 为 P 到椭圆左准线的距离，即|2P|为椭圆的左准线，于是有：-3c= - e= ，选 A。l ca23巩固 1 一动圆圆心在抛物线 上，过点(0 , 1)且与定直线 相切，则 的方程为（ yx42ll） A. B. C. D.1x16116y巩固 2 椭圆 C1： 的左准线为 ，左、右焦点分别为 F1，F 2，抛)0(,2bayaxl物线 C2 的准线也为 ，焦点为 F2，记 C1 与 C2 的一
5、个交点为 P，则 = （ l |2112P）A B1 C2 D与 a,b 的取值有关13过抛物线 y2=2px 的焦点直线 与抛物线 y2=2px 交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，记住并会证l明： ， ，|AB|= (其中 为弦 AB 的倾角， =90021p421x221sinpx时的弦 AB 即为抛物线的通经)，证明该结论时为避免讨论斜率不存在情形，可 设 直 线 方程 为 ：x=my+ (其中 m 为 AB 的斜率的倒数 )；抛物线焦点弦问题 常用定义，如：以焦点弦 为直径的圆与准线相切。举例 1抛物线 y2=2px 上弦长为 a（a 2p）的弦的中点到 y 轴的距离的最小
6、值为： 。解析：抛物线的准线 的方程为：x= - ,焦点 F（ ，0） ，记弦的两端点为 A、B，AB 的l2p中点为 M，它们在 上的射影分别是 A1，B 1，M 1；于是有：|AF|=|AA 1|，|BF|=|BB 1|，M 到 y 轴的距离 d=|MM1|- = (|AA1|+|BB1|）- = (|AF|+|BF|）- |AB|-22p= ,当且仅当 A，B，F 共线时等号成立。注：过焦点的弦最短是通经，长为 2p，当2paa= 故 与 夹角为 -arccos .4A, .43|OBOAB43注：在研究形如 y2=2px 的抛物线与直线的有关问题时，设直线方程为 x=my+b 的形式，
7、不仅可以简化计算，有时还可以避免对直线斜率是否存在的讨论。巩固 1AB 是抛物线 的一条焦点弦，|AB|=4 ，则 AB 中点 C 的横坐标是（ ）x2A2 B C D12325巩固 2过抛物线 的焦点的直线 与抛物线交于 A、B 两点，)0(2pxy 0myx且OAB（O 为坐标原点）的面积为 ，则 m6+m4= 4直线与圆锥曲线的公共点问题一般用方程组的解研究。直线与曲线有几个公共点，方程组就有几组解；直线与圆锥曲线相切体现为：在解方程组的过程中， “消元”后得到的一元二次方程有两个相等的实根，即=0 ；抛物线的切线还可以用 导数研究（视抛物线方程为二次函数）。举例 1设抛物线 y2=8x
8、 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 与抛物线有公共点，则l直线 的斜率的取值范围是：（ ）lA- ， B2，2 C1，1 D 4， 41解析：Q（-2，0） ，显然直线 斜率存在，记为 k，则 的方程为：y=k(x+2),代入抛物线l l方程得：k 2x2+4(k2-2)x+4k2=0,当 k=0 时，方程有解；当 k0 时，=64(1-k 2)0 即-1k0 ,x 1+x2=k , x 1x2= -b ，又 y1=x12，y 2=x22y 1y2=b2；而 x1x2+ y1y2=0，得：-b+ b2=0 且 b0，b=1，代入验证，满足；故 y1+y2=k(x1+x2)+2=k
9、2+2；设AOB 的重心为 G(x,y)，则 x= = ,321xkxyF1 F2CA BOy= = ,由两式消去参数 k 得：G 的轨迹方程为 。321yk 32x注：上述求轨迹的方法称为“参数法” ，一般先设法将动点坐标用“参数”表示，再消参数。举例 2过椭圆 的右焦点 F2并垂直于 x 轴1925yx的直线与椭圆的一个交点为 B，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：|F 2A|、|F 2B|、|F 2C|成等差数列，则弦 AC 的中垂线在 y 轴上的截距的范围是 。解析：对|F 2A|+|F2C|= 使用焦半径公式得：5- x1+5- x2= x1+x2=8.此后
10、，可以5185458设 AC 的中垂线方程，代入椭圆方程，使用韦达定理；也可以用“点差”：记 AC 中点M（4，y 0）, 将 A、C 两点的坐标代入椭圆方程后作差得：， ,于是有：AC 的中垂线的方程为：212159yxx04259ykAC，当 x=0 时： =- ，此即 AC 的中垂线在 y 轴上的截距，注意)4(3600y916到：M（4，y 0）在椭圆“内” ， ，得- ,- - 。250y50y951690巩固 1已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22 的最小值是 .巩固 2过抛物线 上一定点 P（ ） （ ）作两条直线分别交抛p0()xy0,0物线于 A（ ） ，B（ ） ，若 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补，则 = xy1,xy2, y120。答案1、巩固 1 B，巩固 2D；2、 巩固 1C，巩固 2C，3、 巩固 1C，巩固 22；4、巩固 1 ， 巩固 2D，迁移（- ， ） ；5、 巩固 132， 巩固 2“点差”得：， ，由 PA，PB 倾斜角互补kyxpyxPA101010()kpyxPB2020()知 即 故kPAB21020pyyy120y120
