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1、第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结一 两个自变量的二阶线性方程1 方程变换与特征方程两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成fcubuauayxyxyx 212121它关于未知函数 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中 都是自变量 的已知函fcb， 2121 yx,数，假设它们的一阶偏 导数在某平面区域 内都连续，而D且 不全为 0 。21a，设 是 内给定的一点，考虑在 的领域内对),(00yxMD0M方程进行简化。取自变量变换,)(yx),(y其中它们具有二连续偏导数，而且在 处的雅可比行列0式。=),(yxyx xyx-根据隐函数存在定理，在 领域内存在逆变换,0M,)(),(因为，xx
2、xuyyyuxxxxxx uuu 22 yyyyyy xyxxxxxx )(将代入使其变为 FCuBuAu 212121经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以 不全为 0。并可验证21,221212 )(xyxa这表明，在可逆变换下 与 保持相同的2A21正负号。定理 在 的领域内，不为常数的函数 是偏微分0M),(yx方程 之解的充分必要条件是：02211 yyxxaa是常微分方程的Cy),( 0)()(221221 dxd通解。2 方程的类型及其标准形式根据以上结论简化方程的问题归结为寻求其特征曲线。为此将特征方程分解成两个方程：，12212adxy12
3、212adzy(1) 若在 的邻域内 时，方程可以化为0M0212，该式称为双曲线方u_2_1 FuCB程的标准形式，其中 是自变量 的已_21,、知函数。(2) 若 的邻域内 时，可将方程简化成0M0212a，该式称为抛物型方程FCuBuA212的标准形式，其中 是自变量 的已A,21 、知函数。(3) 若 的邻域内 时，可将方程简化成0 0212a，该式称为椭圆FCuBuA1)(型方程的标准形式，其中 是自变量A,21的已知函数。、总之，根据 212a的正负号能将 yxyxuaa2121简化成三种标准形式。fcubyx21定义 若在区域 中 点处满足D),(00M(或是=0，或是0)，则称
4、方程0212a在该点 处是yxyx2 fcubyx21 0双曲线的(或是抛物型的，或是椭圆型的)。二 个自变量的二阶线性方程n1 方程的分类个自变量的二阶线性偏微分方程一般可以表示成 fcubuanixinjixij iji 11,其中 ， ， ， 都是自变量 的已知函数，假设ijibcfn,.1它们在 维空间中某一区域 内连续，而且不全为 0。在区域 内某点 处，由二阶导数项的系数),.(001nxM可构成相应的二次型= = ),.(1nqjixijjia1, )(ijT其中 ，而 是 阶对称矩阵。T1(ij定义 2 如果在点 的二次型为非退化且是不定的，即0它恰有 个非零特征值，而且特征值
5、的符号不全相同，则称方程在点 是双曲线型。如果其中 个非零特征值同0M1n号，只有一个非零特征值与它们异号，则称方程在点 是0M狭义双曲线型的。如果其中不只一个非零特征值是异号的，则称方程在点 是超双曲线型的。0定义 3 如果在点 的二次型为非退化的，即它至少有0一个零特征值，则称方程在点 是抛物型。如果只有一0个零特征值，而另外 个非零特征值同号，则称方程在1n点 是狭义抛物型的。如果是其它有零特征值的情形，则0M称方程在点 是广义抛物型的。0定义 4 如果在点 的二次型为正定或负定的，即它恰0有 个同号的非零特征值，则称方程在 点是椭圆型的。n0M 2 方程的简化当方程中二阶偏导数项的系数
6、 全是常数时，相应的ija二次型是常系数实二次型。根据线性代数的理论，运用配方法或者正交变换法，总可找到一个可逆线性变换，即)(ijpnikip1ni,.1其中 是可逆矩阵，将二次型 化成标准形)(ij )(1nq，即,.1nQ= = =),.(1nq(ijTa)()(ijijTijpa= =221.nu,.1nQ其中 = ，而且 =1 或-1 或 0。)()(ijijTijpn . i可取转置矩阵 构造自变量可逆线性变换 ，Tij xpTij)(即，nkkiixp1,.就能将在区域 内方程简化为+ 。niinii iiB11FCu三小结前面各章的各种定解问题具有的一个共同的特点偏微分方程与定解条件关于未知函数及其导数都是线性的，称这些业解问题都是线性问题。线性问题普遍成立有叠加原理。叠加原理是前面各章介绍的各种方法的基础。另一方面，二阶偏微分方程可以分成双曲线型、抛物型和椭圆型，由于它们描述了物理与工程技术中不同的自然现象，所以，它们不仅在二阶偏导数项系数的代数方面有差异，而且在定解条件与性态方程有本质区别。常系数齐次波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程分别是三类方程的典型代表。为了使定解问题能反映实际现象的客观规律，而且符合数学上适定性的要求，对于不同类型的偏微分方程，需要给予足够、恰当的定解条件。另外，定解条件是否保证定解问题是适定的，还与解的含义有关。
