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1、 8-1 静电场中的导体 一、静电感应 静电平衡条件金属导体由大量的带负电的自由电子和带正电的晶体点阵构成。无论对整个导体或对导体中某一个小部分来说，自由电子的负电荷和晶体点阵的正电荷的总量是相等的，导体呈现电中性。若把金属导体放在外电场中，导体中的自由电子在作无规则热运动的同时，还将在电场力作用下作宏观定向运动，从而使导体中的电荷重新分布。在外电场作用下，引起导体中电荷重新分布而呈现出的带电现象，叫做静电感应现象。如上图所示，在电场强度为 0E的均强电场中放入一块金属板 G，则在电场力的作用下，金属板内部的自由电子将逆着外电场的方向运动，使得 G 的两个侧面出现了等量异号的电荷。于是，这些电
2、荷在金属板的内部建立起一个附加电场，其电场强度 E和外来的电场强度0E的方向相反。这样，金属板内部的电场强度 就是 0和 的叠加。开始时 0E，金属板内部的电场强度不为零，自由电子会不断地向左移动，从而使 增大。这个过程一直延续到金属板内部的电场强度等于零，即 0E时为止。这时，导体内没有电荷作定向运动，导体处于静电平衡状态。当导体处于静电平衡状态时，满足以下条件：（1） 导体内部任何一点处的电场强度为零；（2） 导体表面处电场强度的方向，都与导体表面垂直；（3）导体为一等势体。 讨论：导体表面的电场强度与表面垂直 在静电平衡时，不仅导体内部没有电荷作定向运动，导体表面也没有电荷作定向运动，这
3、就要求导体表面电场强度的方向应与表面垂直。 假若导体表面处电场强度的方向与导体表面不垂直，则电场强度沿表面将有切向分量，自由电子受到该切向分量相应的电场力的作用，将沿表面运动，这样就不是静电平衡状态了。讨论：导体是等势体 导体的静电平衡条件，也可以用电势来表述。 由于在静电平衡时，导体内部的电场强度为零，因此，如在导体内取任意两点 BA和 ，这两点间的电势差 U，即电场强度沿BA和两点间任意路径的线积分应为零，即 ABU 0dlE这表明，在静电平衡时，导体内任意两点间的电势是相等的。 至于导体的表面，由于在静电平衡时，导体表面的电场强度与表面垂直，电场强度沿表面的分量，即 E的切向分量tE为零
4、，因此导体表面上任意两点的电势差亦应为零，即 ABU t0dlE故在静电平衡时，导体表面为一等势面。 不言而喻，导体内部与导体表面的电势是相等的，否则就仍会发生电荷的定向运动。 总之，当导体处于静电平衡时，导体上的电势处处相等，导体为一等势体。二、静电平衡时导体上电荷的分布在静电平衡时，带电导体的电荷分布可运用高斯定理来讨论。如下图所示，有一带电导体处于平衡状态，由于在静电平衡时，导体内的 E为零，所以通过导体内任意高斯面的电场强度通量亦必为零，即 s 0dS于是根据高斯定理，此高斯面内所包围的电荷的代数和必然为零。所以可得到如下结论：在静电平衡时，导体所带的电荷只能分布在表面上，导体内没有净
5、电荷。扩充内容：导体处于静电平衡时电荷的分布 如果有一空腔的导体带有电荷 q图(a), 这些电荷在空腔导体的内外表面上如何分布呢？若在导体内取高斯面 S，由于在静电平衡时，导体内的电场强度为零，所以有 s dSE0iq这说明在空腔的内表面上没有净电荷。然而在空腔内表面的不同部位是否有可能出现符号相反的正、负电荷，而使内表面上净电荷为零的情况呢图(b)？我们设想如果在空腔内表面点 A附近出现 q，而在空腔内表面点 B附近出现 q，则在空腔内就要有始于正电荷而终于负电荷的电场线。 也就是说，空腔内的电场强度就不等于零了。 这时，电场强度沿由 至 B的线积分 AB dlE也将不等于零。于是，在 A，
6、 两点之间就存在电势差。 显然，这与导体在静电平衡时为一等势体的条件相违背的。 因此，带电的空腔导体在静电平衡时，空腔内表面不会以任何形式分布电荷，电荷只能全部分布在空腔导体的外表面上。下面讨论带电导体表面的电荷面密度与其邻近处电场强度的关系。如下图所示，设在导体表面上取一圆形面积元 S，当 足够小时， S上的电荷分布可当作是均匀的，其电荷面密度为 ，于是 上的电荷为 q。以面积元 为底面积作一如下图所示的扁圆柱形高斯面，下底面处于导体内部。由于电场强度为零，所以通过下底面的电场强度通量为零；在侧面上，电场强度要么为零，要么与侧面的法线垂直，所以通过侧面的电场强度通量也为零；只有在上底面上，电
7、场强度 E与 S垂直，所以通过上底面的电场强度通量为 SE，这也就是通过扁圆柱形高斯面的电场强度通量。由于此高斯面包围的电荷为 , 所以，根据高斯定理可有 0 dSEs即 0(8-1)其方向与导体表面垂直。至于带电导体达到静电平衡后导体表面的电荷是如何分布的，则是一个复杂问题，定量研究是很困难的，因为导体表面的电荷分布不仅与导体本身的形状有关，而且还与导体周围的环境有关。即使对于孤立导体，其表面电荷面密度 与曲率半径 之间也不存在单一的函数关系。一般地说，导体的曲率半径越小的地方，电荷密度越大，其表面的电场强度越大。当电场强度大到足以使导体表面的空气电离时，导体上的电荷就会通过这部分电离的空气
8、释放而形成尖端放电。尖端放电会使电能白白损耗，还会干扰精密测量和通讯。然而尖端放电也有很广的用途。扩充内容：导体表面电荷密度与曲率半径的关系实验表明，如把一定量的电荷放到如图所示的非球形导体上，当到达静电平衡时，导体为一等势体，导体表面为一等势面。 在点 A附近，曲率半径较小，其电荷面密度和电场强度的值较大；而在点 B附近，曲率半径较大，其电荷面密度和电场强度的值较小。 如图给出带有等量异号电荷的一个非球形导体和一块平板导体的电场线图像。 从图中可以看出，曲率半径较小的带电导体表面附近，电场线密集，电场较强，尖端附近的电场最强。带电尖端附近的电场强度特别大，已可使尖端附近的空气发生电离而成为导
9、体。 在电场不过分强的情况下，带电尖端经由电离化的空气而放电的过程，是比较平稳地无声息地进行的；但在电场很强的情况下，放电就会以暴烈的火花放电的形式出现，并在短暂的时间内释放出大量的能量。 这两种形式的放电现象就是所谓的尖端放电现象。 例如，阴雨潮湿天气时常可在高压输电线表面附近看到淡蓝色辉光的电晕，就是一种平稳的尖端放电现象。录 象：避雷针三、静电屏蔽若把一空腔导体放在静电场中，静电平衡时。电场线将终止于导体的外表面而不能穿过导体的内表面进入内腔（下图），因此，导体内和空腔中的电场强度处处为零。这表明，我们可以利用空腔导体来屏蔽外电场，使空腔内的物体不受外电场的影响。上面讲的是用空腔导体来屏
10、蔽外电场。有时也需要防止放在导体空腔中的电荷对导体外其他物体的影响，这时，如把导体腔接地，导体空腔外面的电场就消失了，这样，接地的导体空腔内的电荷对导体外的电场就不会产生任何影响。综上所述， 空腔导体（无论接地与否）将使腔内空间不受外电场的影响，而接地空腔导体将使空间不受空腔内的电场的影响。这就是空腔导体的静电屏蔽作用。在实际工作中，常用编织得相当紧密的金属网来代替金属壳体。例如，高压设备周围的金属栅网，校测电子仪器的金属网屏蔽室等，都是起静电屏蔽作用的。扩充内容： (1)高压线带电作业 (没能下载下来)(2)屏蔽实验室 （录像）例 有一外半径 1R为 10cm，内半径 2R为 7cm 的金属
11、球壳，在球壳中放一半径 3R为 5cm的同心金属球（下图）。若使球壳和球均带有 C103q的正电荷，问两球体上的电荷如何分布？球心的电势为多少？解 为了计算球心的电势，必须先计算出各点的电场强度。我们先从球内开始，如取以 3Rr的球面 1S为高斯面，则由导体的静电平衡条件，球内的电场强度为 01E（ 3Rr） (1)在球与球壳之间，作 23R的球面 2S为高斯面，由高斯定理，有 0 2dqs或 024qrE得球与球壳间的电场强度 20241rqE（ 23Rr） (2)而对于所有 1Rr的球面 S上的各点，由静电平衡条件知其电场强度应为零，即3（ 12r） (3)由高斯定理可知，其内所含有电荷的
12、代数和应为零，即 3 dsSE0q已知球的电荷为 q，所以球壳内的表面上的电荷必为 。这样，球壳的外表面上的电荷则应是 2。再在球壳外面取 1Rr的球面 4S为高斯面，从而由高斯定理有 4s dE0q其中 qq2。所以 1Rr处的电场强度为 )( 420（4）由电势的定义式(7-15)，球心 O的电势为 0dlEV 4 3 2 01 11233 ddRRRR llllE把式(1)，(2)，(3)，(4)代入上式，可得 )21(4 40d30 20 0 123RqrqrVR将已知数据代入上式，且190CmV有V102.3)0.71-05(198-0 V四、思考题1. 什么叫静电平衡? 处于静电平衡状态的导体具有哪些性质?导体空腔内没有电荷时，空腔内任一点的电势如何确定? 2. 导体空腔内有点电荷,空腔内任一点的电势与空腔电势相同吗? 为什么?
