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1、中学高中物理竞赛培训教材1第十一讲 功和能一、知识点击1功、功率和动能定理功 功是力对空间的积累效应如果一个恒力 作用在一个物体上，物体发生的位移是 ，那么力 在F sF这段位移上做的功为 W=Fscos在不使用积分的前提下，我们一般只能计算恒力做的功但有时利用一些技巧也能求得一些变力做的功 功率：作用在物体上的力在单位时间内所做的功平均功率： WPt瞬时功率： coslimlisFt动能定理质点动能定理： 2210KtKsmE外 外质点系动能定理：若质点系由 n 个质点组成，质点系内任何一个质点都会受到来自于系统以外的作用力（外力）和系统内其他质点对它的作用力（内力） ，在质点运动时这些力都
2、将做功2201itiiiW外 内即 0KtKE系 外 系 内2 虚功原理：许多平衡状态的问题，可以假设其状态发生了一个微小的变化，某一力做了一个微小的功W，使系统的势能发生了一个微小的变化 E，然后即可由 W=E 求出我们所需要的量，这就是虚功原理3功能原理与机械能守恒功能原理：物体系在外力和内力（包括保守内力和非保守内力）作用下，由一个状态变到另一个状态时，物体系机械能的增量等于外力和非保守内力做功之和因为保守力的功等于初末势能之差，即0PtPWE保 KE外 非 保 内 （ +） =机械能守恒：当质点系满足： ，则 E =0 即 EK + EP = EK0 + EP0=常量0W外 非 保 内
3、中学高中物理竞赛培训教材2机械能守恒定律：在只有保守力做功的条件下，系统的动能和势能可以相互转化，但其总量保持不变说明：机械能守恒定律只适用于同一惯性系在非惯性系中，由于惯性力可能做功，即使满足守恒条件，机械能也不一定守恒对某一惯性系 W 外 =0，而对另一惯性系 W 外 0，机械能守恒与参考系的选择有关。4刚体定轴转动的功能原理 若刚体处于重力场中，则：M 外 =M 其外 +MG（M 其外 表示除重力力矩 MG以外的其他外力矩）W=W 其外 +WG=（M 其外 +MG）= E Kr而 21PPW（ -）21KrCmghJ其 外 （ ）即为重力场中刚体定轴转动的功能原理若呱 ，即 M 其外 0
4、，则：其 外 21CmghJ=常 量刚体机械能守恒二、方法演练 类型一、动力学中有些问题由于是做非匀变速运动，用牛顿运动定律无法直接求解，用动能定理，计算细杆对小环做的功也比较困难，因此有时在受力分析时 必须引入一个惯性力，这样就可以使问题简化很多。例 1如图 42 所示，一光滑细杆绕竖直轴以匀角速度 转动，细杆与竖直轴夹角 保持不变， 一个相对细杆静止的小环自离地面 h 高处沿细杆下 滑求小球滑到细杆下端时的速度分析和解：本题中由于小环所需向心力不断减小，因此小环不是做匀变速运动，用牛顿运动定律无法直接求解，用动能定理，计算细杆对小环做的功也比较困难，因此我们选择细杆做参考系，分析小环受力时
5、必须加上一个惯性力，小环在旋转的非惯性系中，虽然有径向运动，受到科里奥利力的作用，但小环在切向无位移，科里奥利力不做功惯性离心力 ,随半径 r 的减小 均匀减小，所以小2fmf环由半径 r0处移到下端 r=0 处，惯中学高中物理竞赛培训教材3性离心力对 r 的平均值为20mrF惯性离心力做的功： 210tanWFrh重力做功为： W 2 = mgh，由动能定理得 2211(t)mgm2tanh类型二、在功能关系的问题中有些也牵涉到速度关联的问题，在解题中必须注意到它们之间的约束条件，找出有关速度关系，才能准确利用功能原理即可求解例 2如图 43 所示，一根长为 的细刚性轻杆的两端分别连结小球
6、a 和 b，它们的质量分别为 ma和lmb杆可绕距 a 球为 处的水平定轴 O 在竖直平面内转动初始时杆处于竖直位置，小球 b 几乎接触桌1l面在杆的右边水平桌面上，紧挨着细杆放着一个质量为 m 的立方体匀质物块，图中 ABCD 为过立方体中心且与细杆共面的截面现用一水平恒力 F 作用于 a 球上，使之绕 O 轴逆时针转动，求当 a 转过 角时小球 b 速度的大小，设在此过程中立方体物块没有发生转动，且小球 b 与立方体物块始终接触没有分离不计一切摩擦解析：如图 44 所示，用 表示 a 转过 。角时 b 球速 b度的大小， 表示此时立方体速度的大小，则有cosb由于 b 与正立方体的接触是光
7、滑的，相互作用力总是沿水 平方向，而且两者在水平方向的位移相同，因此相中学高中物理竞赛培训教材4互作用的作用力和反作用力做功大小相同，符号相反，做功的总和为 0.因此在整个过程中推力 F 所做的功应等于球 a、 b 和正立方体机械能的增量现用 表示此时 a 球速度的大小，因为 a、b 角速度相同，a,0 ，所以得14Ol3l13ab根据功能原理可知 2 2 231sin(cos)(cos)44a bl l lFmgmgm将、式代人可得解得2 2 211si()(s)(s)(cos)4abab bl l l29n31co8bablFgm类型三、一些平衡状态的问题，用平衡条件很难或无法求解，这时可
8、以假设其状态发生了一个微小的变化，就可以设想某一力做了一个微小的功W，然后用虚功原理就可以很简单地解答出问题例 3如图 45 所示，一轻质三足支架每边长度均为 ，每边与竖直线成同一角度 ，三足置于一光滑l水平面上，且恒成一正三角形现用一绳圈套在三足支架的三足上，使其不能改变与竖直线间的夹角，设三足支架负重为 G，试求绳中张力 FT分析和解：在本题这可以取与原平衡状态逼近的另一平衡态，从而虚设了一个元过程，此过程中所有元功之和为零，以此为基本关系列出方程，通过极限处理，从而求得最后结果分析支架受力：由于负重受到重力 G，支架的每边足部同时受到两侧绳的拉力 FT，易得其合力为 ，3TF方向指向三足
9、 构成的正三角形的几何中心，支架三边足部受水平地面支持力 FN，此力方向竖直向上。现设想支架各边足底在 力作用下向正三角形中心移动一极小位移 ，因而支架的高度升高了 ,则在此虚拟3TFxy中学高中物理竞赛培训教材5的微动讨程中， 力有一元功F N力不做功负重重力势能增大对系统用功能原理得3T3TFxGy上式中，支架升高 与 关系如图 46，图中支 x架一边位置从 ab 变为 ab，作 bb ab, aa a b，由于 很小，ab 边转过的角度 也很小，故可认x为 ab=ab，且 ab边与竖直方向夹角为 ，则有, 即sincosytanyx于是可得 ，即 。3tTFG ta3TGF类型四、能量守
10、恒的问题往往牵涉到摩擦力做功和碰撞，摩擦力做功要消耗机械能，而碰撞可以造成多过程，两者结合起来就很容易在物理学中出现一些数列问题，因此在解题中如何通过能量关系的计算得出有关的通式是解决这类问题的关键。例 4一固定的斜面，如图 47 所示，倾角 = 450，斜面长 L = 2.00 m.在斜面下端有一与斜面垂直挡板，一质量为 m 的质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为零质点沿斜面到斜面最低端与挡板发生弹性碰撞已知质点与斜面间的滑动摩擦因数 =0.20.试求此质点从开始运动到与挡板发生第 11 次碰撞的过程中运动的总路程分析和解：在本题中由于质点与挡板发生弹性碰撞，故机械能消耗在摩擦力做功上，
11、因此只要求出下滑和上滑一个来回通过的路程的通式，就可用数列的方法求解了。质点在沿斜面滑动的过程中，受到摩擦力 的大小为fcosfmg若质点从斜面最高点第一次到达斜面最低端时的速度为 ，则有1中学高中物理竞赛培训教材621sincosmgLm质点与斜面挡板发生弹性碰撞后，以速度 开始沿斜面上滑若上滑的最大路程为 Ll，则有12111sicsg由、两式得 11nosincosmLmgLg即 1sicsLg令上式等号右边的数值等于 ，并以 =45 0，=0.20 代入，则得a，1a0.23按同样的推理可知质点在第 2 次碰撞后上滑的距离为221L依此类推，可知在第 10 次碰撞后上滑的距离为： 10
12、La第 1 次碰撞前质点运动的路程为： 1S第 2 次碰撞前质点运动的总路程为： 212依此类推，可知在第 11 次碰撞前，即从开始到发生第 11 次碰撞期间，质点运动的总路程为：21010SLaaL上式等号右边的数值，可根据数学上等比级数求和的公式算出，即，故 S10=986 m.1010(2)a类型五、机械能守恒的问题往往还可以与刚体的约束条件的问题结合在一切，解决这类问题时一方面要考虑到约束面的约束反力，另一方面又要考虑约束反力是否做功，如果不做功，可重点考虑系统的质心变化和能量的关系，以及约束各点的速度关联。例 5如图 48 所示，质量为 m 的钢球下连一根可不计质量的轻杆，杆长为 L
13、,杆原来直立在光滑的水平面上，轻推一下后，问：（1）小球下落的轨迹是什么？（2）球在 离地 L/2 处，杆着地点的速度为多少？ 分析和解：（1）由球和杆组成的系统，因杆的质量可以忽略所以系统 的质心在球心又因水平面光滑，该系统所受的外力有重力 mg、水平面的约束反力（即支持力）N 均沿竖中学高中物理竞赛培训教材7直方向，故有 ,且由于 t=0 时， ,于是有0eixF0CDCx常 量即系统的质心球心将沿着杆原来的直立方向运动，其轨迹为竖直线， 如图 4 一 8 所示。（2）球（系统）下落过程中，只有重力做功，故机械能守恒因此当球离地面 L/2 时，根据机械能守恒定律，有 2ymgL由上式得：又
14、因杆不会伸长或缩短，即杆可视为刚体，所以杆两端的速度沿杆的方向的投影必须相等，根据图4 一 9 可知： ， 是杆与地面sincosyx的夹角，可算出 .所以033tanxygL类型六、能量耗损的问题特别要注意的是两种基本的形式：转化和转移。解题时往往出现对某种耗散力的忽视把能量守恒的问题当成机械能守恒的问题来解。例 6在一个倾角为 的斜面上镶嵌着许多同样的滚筒，相邻滚筒间的距离为 d。滚筒沿水平方向放置，质量为 m,半径为 r 的表面覆盖橡胶的圆柱形铁棍质量为 m、长度远大于 d 的厚木板在斜面的顶端释放，如图 3-43 所示求木板的最终速度 ，忽略空气阻力和滚筒转轴处的摩擦力max分析和解：
15、厚木板滑动距离 L 时，有 个滚筒得到角速度 .厚木板势能的减少为 ，dmaxrsinMgL中学高中物理竞赛培训教材8而每个滚筒的动能为 ，上述结论考虑了滚筒表面最终的切向速度应该与木板的速度相等，22maxax14I而每个滚筒的转动惯量为 。认为木板下降过程中损失的重力势能，全部转化成为滚筒的动能是不正r确的在此情况下由式 2max1sinLMgd可以得到木板的最终速度为 ax4sing然而，这个结果是错误的，因为没有考虑滚筒加速过程中由摩擦力作用而导致的热量损失令单个滚筒与木板之间的摩擦力为 F（t） （没有必要假定这个力不随时间变化） 在 t 时间间隔内，滚筒角动量的变化为： ()Ir把上式的变化对时间取和，从而得出滚筒最终速度的一个方程：maxax()rFtIr另一方面，在时间t 内，克服摩擦力所做的功（热散失）Q 为摩擦力与滚筒表面相对位移之积max()()Qtrt考虑式、，总的耗散能量为在上式的
