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1、1专题 11 中小学数学课程中的数学史意义、内容与结构一、数学史在新一轮中小学数学课程中的地位和意义在课程改革前的中小学数学教学大纲和教材中，数学史主要起两方面作用：通过介绍中国古代数学成就进行爱国主义教育；通过提供少量“花絮”提高学生的学习兴趣。在新一轮中小学数学课程中，数学史首先被看作理解数学的一种途径。义务教育阶段各科课程目标都围绕三个基本方面：知识与技能，过程与方法，态度情感价值观，对于理科课程，还进而包括理解科学、技术与社会之间的关系，尝试科学教育与人文教育的融合。数学史对于揭示数学知识的现实来源和应用，对于引导学生体会真正的数学思维过程，创造一种探索与研究的数学学习气氛，对于激发学
2、生对数学的兴趣，培养探索精神，对于揭示数学在文化史和科学进步史上的地位与影响进而揭示其人文价值，都有重要意义。1揭示数学知识的现实来源和应用历史往往揭示出数学知识的现实来源和应用，从而可以使学生感受到数学在文化史和科学进步史上的地位与影响，认识到数学是一种生动的、基本的人类文化活动，进而引导他们重视数学在当代社会发展中的作用，并且关注数学与其他学科之间的关系。例：数系的扩充；函数概念的演进；从平行公设到非欧几何；解析几何的创立；三角学的演变；数学猜想：提出、发展与解决。2理解数学思维一般说来，历史不仅可以给出一种确定的数学知识，还可以给出相应知识的创造过程。对这种创造过程的了解，可以使学生体会
3、到一种活的、真正的数学思维过程，而不仅仅是教科书中那些千锤百炼、天衣无缝，同时也相对地失去了生气与天然的、已经被标本化了的数学。从这个意义上说，历史可以引导我们创造一种探索与研究的课堂气氛，而不是单纯地传授知识。这既可以激发学生对数学的兴趣，培养他们的探索精神，历史上许多著名问题的提出与解决方法还十分有助于他们理解与掌握所学的内容。历史的发展过程可以告诉我们，在一个专题、一个概念或一个结果的发展中，哪些思想、方法代表着该内容相对于以往内容的实质性进步，从而更深刻地理解它。历史还可以告诉我们在学习过程中可能发生的困难以及克服该困难的可能的途径。例 1 几何三大难题：突破尺规作图限制，由初等几何到
4、高等几何和解析几何，由直线和圆到各种高次曲线及特殊曲线。例 2 不可通约量的发现：突破四则运算，从有限到无穷，从离散到连续，比例理论的发展与深化。例 3 解析几何：转换的思想；坐标思想；方程与曲线对应的思想。例 4 圆面积计算：割补近似：古埃及（约 1650 B.C.） ；割圆术的萌芽： Antiphon，Bryson（公元前 5 世纪） ；穷竭法：Eudoxus（公元前 4 世纪） ，Archimedes 割圆术（公元前 3 世纪） 。例 5 正负数，零，无理数，复数。例 6 空间观念，直观与抽象，有限与无穷。比较历史上的不同时期、不同民族或地区对同类问题的不同处理方式，或同类方法的不同地位
5、与应用，可以启发学生的解题思路，并从中比较优劣，体会到数学思维的真谛。例 7 记数法：巴比伦，埃及，希腊，罗马，玛雅，印度，中国。2例 8 比例：希腊，中国。例 9 不可通约量与开方不尽数。例 10 高次方程：中国的数值解法；欧洲的公式解。历史可以为我们提供那些答案是“不可能”或“不存在”的问题，而对这些问题的探索，是数学研究的一个极为重要的方面，也是数学思维品质的一个重要方面。例：几何三大难题；试证第五公设；一元次方程的根式解。3数学历史名题的教育价值对于那些需要通过重复训练才能达到的目标，数学历史名题可以使这种枯燥乏味的过程变得富有趣味和探索意义，从而极大地调动学生的积极性，提高他们的兴趣
6、。对于学生来说，历史上的问题是真实的，因而更为有趣；历史名题的提出一般来说都是非常自然的，它或者直接提供了相应数学内容的现实背景，或者揭示了实质性的数学思想方法，这对于学生理解数学内容和方法都是重要的；许多历史名题的提出与解决与大数学家有关，让学生感到他本人正在探索一个曾经被大数学家探索过的问题，或许这个问题还难住了许多有名的人物，学生会感到一种智力的挑战，也会从学习中获得成功的享受，这对于学生建立良好的情感体验无疑是十分重要的；最后，历史名题往往可以提供生动的人文背景。向学生展示历史上的开放性的数学问题将使他们了解到，数学并不是一个静止的、已经完成的领域，而是一个开放性的系统，认识到数学正是
7、在猜想、证明、错误中发展进化的，数学进步是对传统观念的革新，从而激发学生的非常规思维，使他们感受到，抓住恰当的、有价值的数学问题将是激动人心的事情。例：尼科马修斯猜想，费尔马大定理，哥德巴赫猜想，四色定理。数学中有许多著名的反例，通常的教科书中很少会涉及它们。结合历史介绍一些数学中的反例，可以从反面给学生以强烈的震撼，加深他们对相应问题的理解。4榜样的激励作用帕斯卡 16 岁成为射影几何的奠基人之一，19 岁发明原始计算器。牛顿 22 岁发现一般的二项式定理，23 岁创立微积分学。高斯 19 岁解决正多边形作图的判定问题，20 岁证明代数基本定理，24 岁出版影响整个 19 世纪数论发展、至今
8、仍相当重要的算术研究 。波尔约 23 岁提出非欧几何学的基本思想。黎曼被认为是有史以来最大的几位几何学家之一，他在 25-28 岁期间在数学的三四个领域连续做出了重要的开创性工作。阿贝尔 22 岁证明一般五次以上代数方程不存在求根公式。伽罗瓦创建群论的时候只有 18 岁，死时还不满 21 岁。克莱因 23 岁发表“爱尔朗根纲要” ，全面推动了几何学的研究。哥德尔 25 岁发表震惊整个数学界的“不完全性定理” 。图灵 24 岁发表论理想数的论文，提出了通用计算机的基本原理，从而成为理论计算机之父。法国的布尔巴基学派对 20 世纪数学的发展产生了极大影响，它的几位主要创建者当时年纪最大的也只有 3
9、2 岁。19 世纪的大几何学家施泰纳出身农家自幼务农，直到 14 岁还没有学过写字，18 岁才正式开始读书，后来靠作私人教师谋生，经过艰苦努力，终于在 30 岁时在数学上做出重要工作，一举成名。外尔斯特拉斯读大学耽于玩乐，未能毕业，离开大学后才开始发愤努力，40岁获得数学界承认，50 岁左右成为杰出的数学家，晚年被欧洲数学界公认为“我们大家的老师” 、 “数学的良心” 。古希腊数学家阿那克萨戈拉晚年因自己的科学观点触怒权贵而被诬陷入狱面临死刑的威胁，但他在牢房中还在研究化圆为方问题。阿基米德在敌人破城而入、生命处于危急关头的时候仍然沉浸在数学研究之中，他的墓碑上没有文字，只有一个漂亮的几何构图
10、，那是他发现并证明的一条几何定理。为了让天文学家从繁琐的计算中解脱出来，纳皮尔发明了对数，3而为了计算对数表他自己却整整花费了 20 年的时间。17 世纪初，鲁道夫穷毕生精力将圆周率 的值计算到 35 位小数，并将其作为自己的墓志铭。大数学家欧拉 31 岁右眼失明，晚年视力极差最终双目失明，但他仍以坚韧的毅力保持了数学方面的高度创造力，以致由于他的论文多而且长，科学院不得不对论文篇幅做出限制，在他去世之后的 10 年内，他的论文仍在科学院的院刊上持续发表。数学家的墓碑与墓志铭。阿基米德：圆柱容球。雅格布伯努利：对数螺线。高斯：墓前塑像底座为正 17 边形。这样的一个名单可以开得更长，这些杰出数
11、学家的故事对于今天的许多学生来说，无疑有着巨大的激励作用。许多大数学家在成长过程中遭遇过挫折，不少著名数学家都犯过今天看来相当可笑的错误，介绍一些大数学家是如何遭遇挫折和犯错误的，不仅可以使学生在数学方法上从反面获得全新的体会（这往往能够获得比从正面讲解更好的效果） ，而且知道大数学家也同样会犯错误、遭遇挫折，对学生正确看待学习过程中遇到的困难、树立学习数学的自信心会产生重要的作用。数学思想形成中的曲折与艰辛以及那些伟大的探索者的失败与成功还可以使学生体会到，数学既不仅仅是训练思维的体操，也不仅仅是科学研究的工具，它有着丰富得多的人文内涵。5不宜狭隘地将数学史知识视为宣传爱国主义的工具数学是世
12、界性的科学，我们需要接受世界各民族的优秀文化遗产，而不应过分强调民族主义；以爱国主义为目的的科学史教育常导致只讲成就，不讲弱点，对其他民族的成就又视而不见，一方面是忽略了数学发展中许多有价值的、可以给学生以启发的东西，另一方面是培养了一种狭隘民族主义意识，同时也使学生的思想变得很脆弱，一旦他们知道了反面的东西，将有一种受骗的感觉。二、揭示数学知识的来源和背景1问题的提出、解决与发展例如：小学数学中的“盈亏问题” ，现在已经成了一个固定的套路，由于简单地认为它所处理的仅仅是含有两个未知数的一次方程组，因而或者认为毫无介绍的必要，或者直接用线性方程组求解。实际上， 九章算术中的“盈不足”算法的本意
13、在于，通过两次试验，将当时出现的各种复杂的线性问题以及非线性问题化为盈亏类问题，给出一种统一的处理方法，对于线性问题得到精确解，对于非线性问题得到近似解。书中处理的问题，有的是二次方程问题，有的本质上是指数方程问题。中国古代数学书孙子算经中有一个著名的问题“物不知数” ，看似一个简单的数学游戏，实际上是对中国古代天文学中推求上元积年算法的一个概括，或者说是推算上元积年的一个数学模型。几何三大难题是怎样提出的，希腊人为什么要研究这样的问题，这三个问题难在何处，它们的最终结果是什么。虽然在义务教育阶段不可能将有关的数学方法和结果真正说清楚，但是，首先，对许多学生来说，这三大难题是有趣的；其次，这三
14、个问题地提出与发展十分典型地表现了数学问题与方法演进的一般规律，这不仅对学生理解初等几何有很大的启发作用，而且可以从中体会更一般的数学思想方法，例如，从反面去思考问题，不可能性问题在数学中的意义等；第三，几何三大难题及其相关问题与初等数学中相当广泛的内容有关系；最后，许多业余数学爱好者为求解这三个问题花费了大量精力，却不知道它们早在 19 世纪就被否定地解决了。42方法、重要结果及原理的建立、应用与发展例如：毕达哥拉斯定理是初等数学中一个非常优美而深刻的定理，又有着极为广泛的应用。两千多年来，它激起了无数人对数学的兴趣。1940 年，美国数学家卢米斯（E.S.Loomis）在所著毕达哥拉斯命题
15、艺术的第二版中收集了了它的 370 种证明并作了分类，充分展现了这个定理的无穷魅力。围绕这个著名定理既有许多动人的故事，它的多种证明方法又是学习数学思想与方法的生动材料。黄金分割同样十分优美和充满魅力。早在公元前 6 世纪它就为毕达哥拉斯学派所研究，欧几里得在几何原本中给出了一个十分精彩的证明。近代以来人们又惊讶地发现，它与著名的斐波那契数列有着密不可分的内在联系。割圆术起源于公元前 5 世纪希腊数学家对化圆为方问题的研究。它非常直观而又十分深刻。由于直观，任何人都可以自然地接受它和理解它，而其中蕴含的思想与定积分是相通的，对于理解一般的面积体积度量问题也有明显的帮助。刘祖原理通称祖暅公理，西
16、方称之为卡瓦列利原理。它是初等几何中处理面积体积问题的一个关键性定理，其基本思想在九章算术终就有所体现，刘徽（公元 263 年）在许多场合用它解决问题，祖暅（6 世纪）明确概括了它，这比意大利数学家卡瓦列利（17 世纪）的相应工作早了至少 1000 年。从直观意义上这个原理并不难理解，但其中的思想也是与定积分相通的。这些结果对于开阔学生的眼界、启发思维和为进一步的学习奠定基础都是重要的，而把它们作为历史上的著名工作来介绍，又会增添许多文化韵味并极大地激发学生的兴趣，从而有助于学生对数学建立良好的情感体验。3概念的提出与发展通过对历史的介绍可以使学生更好地体会到，数起源于“数” （sh） ，量起源于“量”（ling） ，因此数和兴都来源于现实世界。希腊人为什么要引入素数，没有素数会怎么样？从古至今寻找大素数的竞赛以及人们为什么要这样做。作为位值制记数法中表示空位记号的零。作为一个数的零是怎样被引入的，其中有什么困难。印度人的相应工作。最初无理数是怎样被发现的，它为什么会被称为“无理数
