中考专题：待定系数法应用

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1、- 1 -中考专题之：待定系数法在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数) 来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数) ，称作待定系数。然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于初中数学教材的各个部分，在中考中有着广泛应用。应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组） ，从而使问题获解。例如：“已知x23=（ 1A） x2BxC，求 A，B，C 的值” ，解答

2、此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到 A，B，C 的值。这里的 A，B，C 就是有待于确定的系数。代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组） ，从而使问题获解。例如：“点（2，3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为 y=kx，将（2， 3）代入即可得到 k 的值，从而求得正比例函数解析式。这里的 k 就是有待于确定的系数。消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。例如：“已知 ，求 的值” ，解答此题，只需设定 ，则 ，代入 即可求解。这b2a3bb2=ka3ab=2k， ab里的 k

3、就是消除的待定参数。应用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组） ；（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。下面通过中考的实例探讨其应用。一.待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组） ，解出方程（组）即可求得答案。典型例题：例：若 是完全平方式，则 =【 】2x6kk

4、A9 B9 C9 D3 练习题：1.已知 x216xk 是完全平方式，则常数 k 等于【 】- 2 -A64 B48 C32 D162.二次三项式 x2kx+9 是一个完全平方式，则 k 的值是 。3.将代数式 化成 的形式为【 】 412(xp)qA. B. C. D.2()342(x)52(x4)二.待定系数法在分式求值中的应用：在一类分式求值问题中，已知一比例式求另一分式的值，可设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求分式，从而使问题获解。典型例题：例：已知 ，则 的值是【 】b5a13abA B C D2294练习题：1.已知 ，求代数式 的值。ab=0235ab(2)(+2)2.若

5、 ，则 = 。a2b3a三.待定系数法在因式分解中的应用：在因式分解问题中，除正常应用提取公因式法、应用公式法、十字相乘法、分组分解法等解题外还可应用待定系数法求解，特别对于三项以上多项式的分解有很大作用（如：x 36x 2+11x6 ， ，目前这类考题很少，但不失为一种有效的2235xy9y4解题方法） 。典型例题：例 1：分解因式： 。2x注：本题实际用十字相乘法解题更容易，但作为一种解法介绍于此。例 2：分解因式： 。2235yx9y4练习题：1. 分解因式： = 。2x41- 3 -2. 分解因式：x 34x212x= 。3. 分解因式： 。8四.待定系数法在求函数解析式中的应用：待定

6、系数法是解决求函数解析式问题的常用方法，求函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。确定直线或曲线方程就是要确定方程中 x 的系数与常数，我们常常先设它们为未知数，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将已知的条件代入方程，求出待定的系数与常数。这是平面解析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法。初中阶段主要有正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设 y=kx，y =kx+b，的形式 (其中 k、b 为待定系数，且 k0)。而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成一般式kyxy=ax2+bx+c(a、b、c 为待定系数) ，顶点式 y=a (xh) 2+k

7、(a、k、 h 为待定系数) ，交点式 y=a (xx 1)(xx 2)( a 、x 1、x 2 为待定系数) 三类形式。根据题意( 可以是语句形式，也可以是图象形式 )，确定出a、b、c、k、x 1、x 2 等待定系数，求出函数解析式。典型例题：例 1：无论 a 取什么实数，点 P(a1，2a3) 都在直线 l 上，Q (m，n) 是直线 l 上的点，则(2 mn3) 2 的值等于 例 2：如图，直线 AB 与 x 轴交于点 A（1，0） ，与 y 轴交于点 B（0，2） （1）求直线 AB 的解析式；（2）若直线 AB 上的点 C 在第一象限，且 SBOC =2，求点 C 的坐标例 3：游

8、泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水清洗 灌水”中水量y（m 3）与时间 t（min）之间的函数关系式（1）根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量 y（m 3）与时间 t（min）的函数解析式；（2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？- 4 -例 4：如图，抛物线 yx 2bx c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 O 为坐标原点，点 D为抛物线的顶点，点 E 在抛物线上，点 F 在 x 轴上，四边形 OCEF 为矩形，且 OF2，EF3，(1)求抛物线所对应的函数解析式；(2)求ABD 的面积；(3)将AOC 绕点 C 逆时针旋转 90，

9、点 A 对应点为点 G，问点 G 是否在该抛物线上？请说明理由练习题：1. 某工厂生产一种产品，当生产数量至少为 10 吨，但不超过 50 吨时，每吨的成本 y（万元/吨）与生产数量 x（吨）的函数关系式如图所示（1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为 280 万元时，求该产品的生产数量（注：总成本=每吨的成本 生产数量）- 5 -2. 如图，一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 A、B，以线段 AB 为边在第一象限内作2y=x3xy等腰 RtABC， BAC=90求过 B、C 两点直线的解析式5. 如图，顶点坐标为(2，1)的抛物线 yax 2

10、bxc (a0)与 y 轴交于点 C(0，3) ，与 x 轴交于 A、B 两点(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线的对称轴与直线 BC 交于点 D，连接 AC、AD，求ACD 的面积；(3)点 E 为直线 BC 上一动点，过点 E 作 y 轴的平行线 EF，与抛物线交于点 F问是否存在点 E，使得以 D、E、F 为顶点的三角形与 BCO 相似？若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由五.待定系数法在求解规律性问题中的应用： 近几年中考数学中常会出现一种寻找规律的题型，其中有一类实际是高中数学中的等差数列或二阶等差数列，由于初中没有学习它们的通项公式和递推法求二阶等差数列的通项，因此中考

11、学生在确定数列的通项时有一定的困难。对于等差数列的通项公式 (其中 a1 为首项，d 为公差，n 为正整数)，若将 n 看成自变量， an看n11adna成函数，则 an是关于 n 的一次函数；若一列数 a1,a2,an满足 (其中 k,b 为常数) ，则这n1ak列数是二阶等差数列，即每一后项减去前项得到一新的数列，这一新数列是等差数列。它的通项是关于 n 的二次函数。前面，我们讲过用待定系数法确定函数解析式，由于数列是特殊2nabc的函数，因此我们可以用待定系数法来确定等差数列和二阶等差数列的通项。典型例题：例 1：2008 年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦举

12、行，奥运会的年份与届数如下表所示：- 6 -年份 1896 1900 1904 2012届数 1 2 3 n表中 n 的值等于 例 2：如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第 n 个图案中阴影小三角形的个数是 例 3：1，3，7，13，的第五个数应是 练习题：1. 问题情境：用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第 2012 个图共有多少枚棋子？2.按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第 14 个图案中黑色小正方形地砖的块数是 .3.下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第 n 个图中阴影部分小正方形的个数是 4.观察下列一组图形：-

13、7 -它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 n 个图形中共有 个5.用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）第 5 个图形有多少黑色棋子？（2）第几个图形有 2013 颗黑色棋子？请说明理由六.待定系数法在几何问题中的应用： 在几何问题中，常有一些比例问题（如相似三角形对应边成比例，平行线截线段成比例，锐角三角函数等） ，对于这类问题应用消除待定系数法，通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。典型例题：例 1：如图，菱形纸片 ABCD 中，A=60 0，将纸片折叠，点 A、D 分别落在 A、D 处，且 AD经过B，EF 为折痕，当 DF CD 时， 的值为【

14、】CA. B. C. D. 312362316318例 2：如图，将矩形 ABCD 沿 CE 折叠，点 B 恰好落在边 AD 的 F 处，如果 ，那么 tanDCF 的AB2C3值是- 8 -例 3：如图，定义：在直角三角形 ABC 中，锐角 的邻边与对边的比叫做角 的余切，记作 ctan，即ctan= ，根据上述角的余切定义，解下列问题：ACB的邻 边对 边（1）ctan30= ；（2）如图，已知 tanA= ，其中A 为锐角，试求 ctanA 的值43例 4：等边ABC 的边长为 2，P 是 BC 边上的任一点（与 B、C 不重合） ，连接 AP，以 AP 为边向两侧作等边APD 和等边

15、APE，分别与边 AB、AC 交于点 M、N （如图 1） 。（1）求证：AM=AN；（2）设 BP=x。若， BM= ，求 x 的值；38记四边形 ADPE 与ABC 重叠部分的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式以及 S 的最小值；连接 DE，分别与边 AB、AC 交于点 G、H （如图 2） ，当 x 取何值时，BAD=15 0？并判断此时以DG、GH、HE 这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。- 9 -练习题：1. 小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 E 处，还原后，再沿过点 E 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 F 处，这样就可以求出67.5角的正切值是【 】A 1 B 1 C2.5 D3252. 如图，在