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1、1微积分初步第三讲时间：2013 年 10 月 23 日 星期三 晚上 6：308：30 时第四章 不定积分与定积分一、不定积分的概念（一）原函数与不定积分的概念1、原函数的概念定义 4.1（课本 P.90）设 是定义在区间 D 上的函数，若存)(xf在函数 ，使得对于区间 D 的任意 均有)(xF（或 ）)(xf dxfdF)(则称 为 在区间 D 上的原函数。)(xf2、不定积分定义 4.2（课本 P.90）函数 的全部原函数称为 的不定积)(xf )(xf分，记作 dxf)(3、不定积分的几何意义如果 是 的一个原函数， 的图形称为 的积分曲)(xFf )(xf )(xf线。因为 的不定
2、积分为fcxFdf)()(由于 的任意性，因此，不定积分的几何意义是 的全部积分曲线c )(xf所组成的曲线族，其表达式为 cxFy)(2（二）不定积分的性质与积分基本公式1、不定积分的性质不定积分与求导数（或微分）互为逆运算被积表达式的非零常数因子可以移到积分号之前两个函数代数和的不定积分等于其分别不定积分的代数和2、积分基本公式 cdx0 ，c1 cxdln ，adxlnexx ，cossicdsino，xdtac12 xti12二、换元积分法和分部积分法1、换元积分法（凑微分法或第一换元积分法）2、分部积分法三、定积分（一）定积分的定义设函数 在区间 上连续， 是 的一个原函数，数)(x
3、fba,)(xFf值 )(a称为函数 在区间 上的定积分，记为 ，即)(xfba, badxf)(=adxf)()(F对定积分的概念，应注意：31、定积分的数值与积分变量无关2、选取哪个原函数无关紧要3、变上限积分 )()()(aFxtdtfaxa 从而 f4、规定 ，abbadxxf)()( 0)(axf（二）定积分的性质1、 bababa xgxfxgf )()()(2、 kd3、 bccaba dxfxfxf )()()(（三）定积分的计算1、换元积分法2、分部积分法无限区间的广义积分baa dxfdxf)(lim)(微积分初步作业 3 解答不定积分，极值应用问题一、填空题（每小题 2
4、分，共 20 分）1若 的一个原函数为 ，则 。)(xf 2lnx)(f解：由已知可知 cdf)(所以 xf22若 的一个原函数为 ，则 。)(x2e)(f解：由题意 df所以 xx214因此 )(xfxe243若 ，则 cd)(f解：上式两边同时求导，得 xxxee)1(4若 ，则 cxf2sin)()(f解：上式两边同时求导，得 x2os5若 ，则 cxfld)()(f解：上式两边同时求导，得 x1ln所以 )(xf16若 ，则 c2osd)(xf解：上式两边同时求导，得 2sin所以 )(xfxcs47 de2解： x228 )(sin解： xdcsi9若 ，则 Ff)()(xfd)32
5、(解： x32 cFf )32(1110若 ，则 cf)(d)(xf)(2解： x12 cxdxf)1(12二、单项选择题（每小题 2 分，共 16 分）1下列等式成立的是（） A B)(d)(xffx )(d)(xffC D解：应选 A52若 ，则 （ ）.cxflnd)()(xfA. B. l lnC. D. x2l21x解：两边同时求导，得： 2n1)(xf 2lx所以应选 C3若 ，则 （ ）.cxf2ed)()(fA. B. 12x x2eC. D. e解：两边同时求导，得： xxef22)()1(2x所以应选 A4若 ，则 （ ）.)0()(xxf fd)(A. B. ccx2C.
6、 D. x23 231解：应选 A5以下等式成立的是（ ）A B 3lndxx)1(d22xC D x )(ln解：应选 A6 （ ）fd)(A. B. cxcxf)(C. D. f)(211解： xd cxffdxfxff )()()(所以应选 A67 =（ ） xad2A B C D xadln2xad2cxad2解：应选 C8如果等式 ，则 （ ）xfx11e)( )(fA. B. C. D. x12 21x解：两边求导，得： 21)(exfx所以 ，故应选 B21)(f三、计算题（每小题 7 分，共 35 分）1 xxdsin3解： i3 xdsin13cxxos32ln2 d)1(0
7、解： x cxxd 1010 )2(1)2()(2c1)(23 xdsin2解：1i2 cxd1os)(sin4 xsi解： )2cos(2cs21xdxxin4cos5 ed7解： xed cexdexe xx)(四、极值应用题（每小题 12 分，共 24 分）1 设矩形的周长为 120 厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解：设矩形的一边长为 厘米，则另一边长为 厘米，以 厘米的边为轴旋xx60x60转一周得一圆柱体，则体积 为：V，即：)60(2xV32x，令 ，得：231d0d（不合题意，舍去） ， ，这时4206x由于根据实际问题
8、，有最大体积，故当矩形的一边长为 厘米、另一边长为 厘460米时，才能使圆柱体的体积最大。2 欲用围墙围成面积为 216 平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 解：设矩形的长为 米，则矩形的宽为 米，从而所用建筑材料为：xx216，即：L2163L48，令 得： （取正值） ，这时248xd0d1126x由于根据实际问题，确实有最小值，故当矩形的长为 米，宽为 米时，才能使8所用建筑材料最省五、证明题（本题 5 分）函数 在（ 是单调增加的xef)()0,证明：因为 ，当 （ 时，1x),xef1)(0所以函数 在（ 是单调增加的exf)(
