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1、1应用牛顿定律解题时的坐标选择北京九中 肖伟华 牛顿运动定律是解决动力学问题的基本理论，是建立物体运动图景的重要依据，也是正确应用能量规律、动量规律的基础。在实际应用中，常常有许多同学遇到困难。对学生出错的原因进行分析发现，一个重要的原因是学生对牛顿定律的矢量性和独立性理解不到位，在操作中，不能根据实际情况灵活、正确的建立坐标系，导致解题困难。本文结合具体例子，说明在应用牛顿定律解题的过程中，根据不同情况，如何恰当的进行坐标系的选择。一、牛顿第二定律的矢量性与坐标选择牛顿第二定律的内容是：物体的加速度大小跟它受到的作用力成正比、跟它的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同。牛顿第二定律的数
2、学表达式是： maF牛顿第二定律不仅揭示了加速度大小与受到的外力的关系，还揭示出加速度方向与外力方向的关系:加速度的方向总是与合外力的方向相同。这正是牛顿第二定律的矢量性，也就是说，牛顿第二定律方程是一个矢量方程。在中学阶段，矢量运算一般要转化为标量运算，建立坐标系则是实现这一转化的基本手段。例 1、静止在水平地面上的物体质量 2kg，与地面的摩擦因数 =0.5。现对物体施加10N 的拉力 F， F 与水平面的夹角 =37，求物体的加速度。分析与解：物体受力如图 1。由于物体在竖直方向处于平衡，在水平方向运动，加速度方向一定在水平方向上，所以以水平向右为 x 轴正方向建立正交坐标系。y： mg
3、FNsinx： afcoNf得： 2/5.0sma即加速度大小为 0.5m/s2，方向水平向右。例 2、质量为 m 的木块 A 置于倾角为 的固定斜面上，它与斜面间的动摩擦因数为 ，一水平力 F 作用在木块 A 上在力 F 的推 xyFGFfFNF1F2图 1FFxyFNGF1F2G2G1G1Ff图 22动下，木块 A 沿斜面以恒定的加速度 a 向上滑动，则 F 的大小？分析与解：物体受力如图 2，物体的加速度沿斜面向上，所以以沿斜面向上 x 轴正方向建立正交坐标系。Y： sincoFmgFNx： mafsNf得： sincosigmF多数情况下，物体的加速度方向或所受合外力方向明确，我们都可
4、以建立这种坐标系：即以加速度方向为正方向建立坐标系。建立这种正交坐标系后，可以把物体受到的力投影到两个坐标轴上，分别对两个坐标轴建立力的方程力的平衡方程或牛顿第二定律方程。由于建立了坐标系，在建立力的方程时，可以直接根据一条直线上力的运算法则进行计算，使运算得到简化。二、牛顿定律的独立性与坐标选择牛顿第二定律的独立性是指当物体受到几个力的作用时,每个力都会独自对物体产生一个加速度,就像其他力不存在一样。独立性原理为我们在应用牛顿定律时提供了另一种坐标选择分解加速度。例 3、如图 3 所示，质量为 60kg 的人与电梯一起以 1m/s2 的加速度加速上升，=37求电梯对人的支持力与摩擦力。(g=
5、10m/s 2)解：对人，受力分析如图 3，以水平向右为 x 轴正方向建立正交坐标系。分解加速度。，cosaxsinayy： mgFNx： csf得： NaN63inFf48例 4、如图 4 所示，电梯里有一个倾角为 的斜面，斜面上放一个质量为 m 的物体，当电梯以加速度 a 匀加速上升时，求：物体对斜面的压力和摩擦力。解：对 m，受力分析如图 4，沿斜面向上为 x 轴正方向建立正交坐标系。xyaaxayGFNFf图 33分解加速度： ，sinaxcosayy： comgFNx： sisif得： caNsinsimgFf在例 3、和例 4 中，根据牛顿定律的独立性原理，我们沿所求力的方向建立坐
6、标系，对加速度和其他力进行分解。这样选择坐标系的优点是避免了对所求力进行分解，使计算得到简化。三、匀减速运动中的坐标选择在匀减速运动中，物体受到的合力与速度方向相反，此时如何选择坐标系呢？以下两种方法都可行：其一，规定初速度方向为正方向，与此相同的取正，相反的取负。其二，建立牛顿定律方程时以 a 的方向为正方向，列运动学方程时，应用逆向思考法列方程。例 5：一物体以初速度为 v0=10m/s 在水平面上运动，物体与水平面间的滑动摩擦因数为 =0.2。求物体在水平面上滑行的距离。解：法一、以 v0 方向为正方向建立坐标系，如图 5a 所示。mafNfFgaxv20得： ，sm25法二、以 a 的
7、方向为正方向建立坐标系，如图 5b 所示。FfNfmamayxGG1G2FN Ffaxay图 4图 4xxmgFfFN v0图 5axmgFfFN v0xa图 5b4mgFNaxv20得： ， 。2s5可以看到，法二的好处是在方程中不出现“-”号，避免了因“+” 、 “-”号带来的麻烦。但在应用法二的坐标系时，我们把一个匀减速运动看做一个反向的匀加速运动，因此，要对逆向思考法有深刻的理解。四、圆周运动中的坐标选择牛顿运动定律在圆周运动动力学中的应用体现在向心力方程的建立上。建立向心力方程时，通常以运动质点为坐标原点、以圆周的切线方向和法线方向（指向圆心的方向）为正方向建立坐标系。这时的坐标系是
8、一个做匀速圆周运动的坐标系，通常称自然坐标系。例 6、如图 6 所示，一个质量为 m 的小球被一根长度为 l 的细绳拴住绕固定点 O 在竖直面内做圆周运动，刚好能通过最高点 A。求：1）小球通过最高点 A 时的速度；2）小球通过 B 点（OB 点与水平方向的夹角为 37）时细线对小球的拉力。分析与解：小球刚好通过最高点，此时细绳的拉力为零，重力提供向心力，如图 6a 所示， lvmg2小球通过 B 点时，受力如图 6b 所示，由图可知：lvmgFBT237sin根据机械能守恒定律，得：221)si1(Bvlv得： mgFT.如果做圆周运动的物体受力与圆周平面不在一个平面内，则要建立三维坐标系：
9、即圆周平面与垂直圆周平面的坐标系。OA37B图 6OAxy vAmg图 6aO37BmgxFTyvBG1BG2B图6b5例 7、如图 7 所示，沿半径为 R 的球形碗的光滑内表面，质量为 m 的小球正以角速度 在水平面内作匀速圆周运动，则此时小球离碗底的高度 h= 。分析与解：小球在水平面内做圆周运动，竖直方向上受力平衡。如图 7所示：在圆周平面内建立 x、 y 轴（y 轴未画出） ，竖直方向建立 z轴，设小球与 O 点连线与竖直方向成夹角 。则有：x： 2sinmrFNz： gco其中： siRrh得： 2g五、灵活选择坐标系牛顿定律的矢量性与独立性决定了，我们在解决具体问题时，要根据解题的
10、方便灵活的选择坐标系。例 8、一个质量为 m=2kg 的小球被一细线固定在倾角 =45的斜面体上，斜面光滑，能在水平面上运动。若保持小球与斜面相对静止（g=10m/s 2）：当细线拉力为零时，斜面体的加速度大小及方向当斜面体的以加速度为 6m/s2 向左加速时，小球对细线的拉力及对斜面的压力。解：当细线的拉力为零时，对小球，受力如图 8a 所示，建立水平、竖直坐标系。y： mgFNcosx： ain得： ，方向水平向左。2/10st当 a=6m/s2 时，可知绳子有拉力。对小球，受力如图 8b所示，沿斜面向上为正方向建立正交坐标系。分解加速度： ，cosaxsinayy： imgFNhOR图
11、7OzxFN FN1FN2mg图7图 8FNGxyFN1FN2 图 8aFNGxyFTG 2G1aayax图 8b6x： cossinmaFgT得： NN6.2inT 75cssi根据牛顿第三定律，小球对斜面的压力为 22.6N，对细线的拉力为 5.7N例 9、一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为 =30 0，一条长度为 l 的绳一端的位置固定在圆锥体的顶点 O 处，另一端拴着一个质量为 m 的小物体( 物体可看成质点)。物体以速率 v 绕圆锥体的轴线做水平面内的匀速圆周运动。当 时，求绳对物体的拉力；glv61当 时，求绳对物体的拉力；l23分析与解：当
12、 FN=0 时，小球恰好在圆锥面上做圆周运动（临界状态）此时，对小球，受力如图 9，建立水平、竖直坐标系。y： mgTcosx： 向aFinsi2lv向得： glglt63in 当 时，锥面对小球有支持力。llv61对小球受力分析如图 9a，沿斜面、垂直斜面建立坐标系，分解加速度。 ，sin向向 ax cos向向 ayy： cosin向mFgNx： sic1向TFT300OGFT1FT2xy图 9300OGFNFT1xyG1G2 a 向a 向xa 向y图 9a7sin2lva向得： mgmagFN63cosi向T 1ins1 向当 ，小球已飘起，做圆锥摆运动，小球受力gllv632如图 9b，
13、建立水平、竖直坐标系。设绳与竖起方向的夹角为 。y： mgFTcos2x： 向ainsi2lva向得： ，60mgFt2cos2矢量方程是高中物理中非常重要的一类方程，相比于标量方程，矢量性和独立性是它的重要特征，因此，在建立矢量方程时，首先要有建立正方向的意识，其次要能根据具体情况灵活的进行坐标选择。坐标系选择的基本原则是方便性原则，即通过坐标选择使问题的解决得到简化。坐标系的选择一般有两种情况：其一，沿加速度方向和垂直加速度建立坐标系；其二，沿所求力方向建立坐标系，分解加速度和其它力。当我们能根据具体情况自由的选择坐标系时，说明我们对矢量方程已经有了比较深刻的认识。G300FT2xyFT2yFT2x图 9b
