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1、专题强化训练(三)(建议用时：45分钟)基础达标练一、选择题1如图38，在空间四边形ABCD中，连接AC，BD，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列各式中成立的是()图38A0B0C0D0B，易证四边形EFGH为平行四边形，故0，故选B2已知a(1,2,3)，b(2,1,2)，c(1,1,2)，且向量pc，则当(pa)(pb)取得最小值时，向量p的坐标为()ABC DC设pc，则paca(1，2,23)，pbcb(2，1,22)，所以(pa)(pb)2(3285)2，所以当时，(pa)(pb)取得最小值，此时pc，故选C3已知平面，是两个不重合的平面，其法向量分别为n1
2、，n2，给出下列结论：若n1n2，则；若n1n2，则；若n1n20，则；若n1n20，则.其中正确的是()ABCDA由平面的法向量的定义知，正确4已知平面的一个法向量为n(1，1,0)，则y轴与平面所成的角的大小为()A B C DBy轴的一个方向向量s(0,1,0)，cosn，s，即y轴与平面所成角的正弦值是，故其所成的角的大小是.5如图39，已知E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC的中点，设为二面角D1AED的平面角，则cos () 【导学号：46342186】图39A BCDA以A为坐标原点，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，令正方体ABCDA1B1C1D1
3、的棱长为2，则A(0,0,0)，E(2,1,0)，D1(0,2,2)，A1(0,0,2)，所以(2,1,0)，(0,2,2)，设平面AED1的法向量为m(x，y，z)，则由，得，令x1，则y2，z2，故m(1，2,2)又(0,0,2)为平面AED的一个法向量，为二面角D1AED的平面角，所以cos ，故选A二、填空题6已知向量a(2,4，x)，b(2，y,2)，若|a|6，且ab，则xy_.1或3由a(2,4，x)且|a|6，得6，x4，由ab，得44y2x0，得或，则xy1或3.7在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，2,0)，B(2,1，)，则向量与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为_设
4、平面xOz的法向量为n(0，t,0)(t0)，(1,3, )，所以cosn，因为n，0，所以sinn，.8已知空间三点O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,1)，若直线OA上的一点H满足BHOA，则点H的坐标为_. 【导学号：46342187】设H(x，y，z)，则(x，y，z)，(x，y1，z1)，(1,1,0)因为BHOA，所以0，即xy10，又点H在直线OA上，所以，即，联立解得所以点H的坐标为.三、解答题9如图310，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论图310解在棱C1D1上存在点F，当F为C
5、1D1的中点时，B1F平面A1BE.证明如下：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为2，则B(2,0,0)，E(0,2,1)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，(2,2,1)，(2,0,2)设平面A1BE的法向量为m(x，y，z)，则m2x2yz0，且m2x2z0，取x1，则z1，y，m是平面A1BE的一个法向量假设在棱C1D1上存在一点F，使B1F平面A1BE，设F(x0,2,2)(0x02)，则(x02,2,0)，则mx022100，解得x01，当F为C1D1的中点时，B1F平面A1BE.10如图311，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中
6、点图311(1)求证：AB1平面A1BD；(2)求二面角AA1DB的余弦值的大小. 【导学号：46342188】解(1)取BC的中点O，连接AO.ABC为正三角形，AOBC在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系则B(1,0,0)，C(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)(1,2，)，(2,1,0)，(1,2，)2200，1430，AB1平面A1BD(2)设平面A1AD的法向量为n(x，y，z)，(1,1，
7、)，(0,2,0)，即，令z1，得n(，0,1)为平面A1AD的一个法向量由(1)知AB1平面A1BD，为平面A1BD的一个法向量cosn，二面角AA1DB的余弦值为.能力提升练1在空间四边形ABCD中，若向量(3,5,2)，(7，1，4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为()A(2,3,3)B(2，3，3)C(5，2,1)D(5,2，1)B取AC中点M，连接ME，MF(图略)，则， 所以(2，3，3)，故选B2如图312，正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC的夹角是()图312A30B45C60D75A如图，以O为
8、坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P，则(2a,0,0)，(a，a,0)，设平面PAC的一个法向量为n，可取n(0,1,1)，则cos，n，所以，n60，所以直线BC与平面PAC的夹角为906030.3已知向量e1，e2，e3是三个不共面的非零向量，且a2e1e2e3，be14e22e3，c11e15e2e3，若向量a，b，c共面，则_. 【导学号：46342189】1因为a，b，c共面，所以存在实数m，n，使得cmanb，则11e15e2e3(2mn)e1(m4n)e2(m2n)e3，则，解得.4已知平面经过
9、点A(0,0,2)，且平面的一个法向量为n(1，1，1)，则x轴与平面的交点坐标是_(2,0,0)设交点为M(x,0,0), 则(x,0，2)，平面的一个法向量n(1，1，1)，则n0，解得x2，故x轴与平面的交点坐标是(2,0,0)5如图313，在三棱锥ABCD中，侧面ABD，ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD，BDCD1，另一个侧面ABC是等边三角形图313(1)求证：ADBC(2)在线段AC上是否存在一点E，使直线ED与平面BCD的夹角为30？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由解(1)作AH平面BCD于点H，连接BH，CH，DH，则四边形BHCD是正方形，且AH1.以D为坐标原点，DB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴建立空间直角坐标系，如图则D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A(1,1,1)，(1,1,0)，(1,1,1)，0，则ADBC(2)存在满足条件的点E，点E到点C的距离为1.设E(x，y，z)，则xz0，y1.又平面BCD的一个法向量为n(0,0,1)，(x,1，x)，若ED与平面BCD的夹角为30，则与n的夹角为60，cos，ncos 60，则2x，解得x或x(舍去)，即E.又|1，故线段AC上存在满足条件的点E，点E到点C的距离为1.
