网格插值方法的背景及原理

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1、过各种网格插值方法的背景及原理：1 反距离加权插值法 反距离加权插值法(Inverse Distance to a Power)首先是由气象学家和地质工作者提出的，后来由于 DShepard 的工作被称为谢别德法（Shepard 方法） ，它的基本原理是设平面上分布一系列离散点，己知其位置坐标(xi,yi)和属性值 zi(i=1，2，)，p(x,y)为任一格网点，根据周围离散点的属性值，通过距离加权插值求 P点属性值。距离加权插值法综合了泰森多边形的邻近点法和多元回归法的渐变方法的长处，它假设 P点的属性值是在局部邻域内中所有数据点的距离加权平均值，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。周围点与P

2、点因分布位置的差异，对 P(z)影响不同，我们把这种影响称为权函数 wi(x,y)，方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点 被给定一个较高的权重份额；对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时，给予一个特定数据点的权值，与指定方次的结点到观测点的距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于 10。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为 10 的权重。所有其它观测点被给予一个几乎为 00 的权重。2 克里金插值法 克里金(Kriging)插值法又称空间自协方差最

3、佳插值法，它是以法国 DGKrige 的名字命名的一种最 优内插法。克里金法广泛地应用于地下水模拟、土壤制图等领域，是一种很有用的地质统计格网化方法 它 首先考虑的是空间属性在空间位置上的变异分布确定对一个待插点值有影响的距离范围，然后用此范围 内的采样点来估计待插点的属性值。该方法在数学上可对所研究的对象提供一种最佳线性无偏估计(某点 处的确定值)的方法。它是考虑了信息样品的形状、大小及与待估计块段相互间的空间位置等几何特征以 及品位的空间结构之后，为达到线性、无偏和最小估计方差的估计，而对每一个样品赋与一定的系数，最后 进行加权平均来估计块段品位的方法。但它仍是一种光滑的内插方法 在数据点

4、多时，其内插的结果可信 度较高 ：。克里金法类型分常规克里金插值(常规克里金模型克里金点模型)和块克里金插值。常规克里金插值 其内插值与原始样本的容量有关，当样本数量较少的情况下，采用简单的常规克里金模型内插的结果图会 出现明显的凹凸现象；块克里金插值是通过修改克里金方程以估计子块 B内的平均值来克服克里金点模 型的缺点，对估算给定面积实验小区的平均值或对给定格网大小的规则格网进行插值比较适用。块克里金插值估算的方差结果常小于常规克里金插值，所以，生成的平滑插值表面不会发生常规克里金模型的凹凸 现象。按照空间场是否存在漂移(drift)可将克里金插值分为普通克里金和泛克里金，其中普通克里金 (

5、Ordinary Kriging简称 OK法)常称作局部最优线性无偏估计所谓线性是指估计值是样本值的线性组3 最小曲率法 最小曲率法(Minimum Curvature)广泛应用于地球科学 用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过 各个数据值、具有最小弯曲量的长条形薄薄的弹性片。最小曲率法试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。最小曲率法不是一个精确的插值法，也就是说在插值的过程中不可能总是完全尊重数据。控制收敛的两个参数：最大偏差参数，最大循环次数。4 改进谢别德法 改进谢别德法(ModifiedQuadratic Shepard)是由 Franke及 Nielson提出，它仍

6、是一个与距离成反比的 加权方法。在使用反距离加权插值法时，当增加、删除或改变一个点时，需要重新计算权函数 wi(x,y)，为 了克服反距离加权插值法的这一缺陷，改进谢别德法同样使用距离倒数加权的最小二乘方的方法，但有以 下两个方面的改进 ： (1)通过修改反距离加权插值法的权函数 wi(x，y)=1/di(x，y),使其只能在局部范围内起作用， 以改变反距离加权插值法的全局插值性质，即它利用了局部最小二乘方法来消除或减少所生成等值线的 “鸭蛋”外观 (2)同时用节点函数 Qi(x,y)来代替离散点(xi,yi)的属性值 zi，Qi(x,y)是一个插值于点(xi,yi)的二次多项式即有 Qi(x

7、i,yi)=zi(i=1,2,n)。而且 Qi(x,y)在点(xi,yi)附近与函数属性值 z(x,y)具有局部近似的性质。因此，如果认为距离(xi,yi)较远的点对Qi(xi,yi)影响不大，则可以认为在(xi,yi)点附近 Qi(x,y)就可以近似地表示函数属性值z(x,y)。5 自然邻点插值法 自然邻点插值法(Natural Ndghbor)是 Surfer7、0 才有的网格化新方法。自然邻点插值法广泛应用于 一些研究领域中。其基本原理是对于一组泰森(Thiessen)多边形，当在数据集中加入一个新的数据点(目 标)时，就会修改这些泰森多边形，而使用邻点的权重平均值将决定待插点的权重，待

8、插点的权重和目标泰 森多边形成比例 。实际上，在这些多边形中，有一些多边形的尺寸将缩小，并且没有一个多边形的大小会 增加。同时，自然邻点插值法在数据点凸起的位置并不外推等值线(如泰森多边形的轮廓线)。 6 最近邻点插值法 最近邻点插值法(Nearest Neighbor)又称泰森多边形方法，泰森多边形(Thiesen，又叫Dirichlet或 Voronoi 多边形)分析法是荷兰气象学家 AH_Thiessen 提出的一种分析方法。最初用于从离散分布气象 站的降雨量数据中计算平均降雨量，现在 GIS和地理分析中经常采用泰森多边形进行快速的赋值_2。实际 上，最近邻点插值的一个隐含的假设条件是任

9、一阿格点 p(x，y)的属性值都使用距它最近的位置点的属性 值，用每一个网格节点的最邻点值作为待的节点值 。当数据已经是均匀问隔分布，要先将数据转换为 SURFER的网格文件，可以应用最近邻点插值法；或者在一个文件中，数据紧密完整，只有少数点没有取 值，可用最近邻点插值法来填充无值的数据点。有时需要排除网格文件中的无值数据的区域，在搜索椭圆(Search Ellipse)设置一个值，对无数据区域 赋予该阿格文件里的空白值。设置的搜索半径的大小要小于该阿格文件数据值之间的距离，所有的无数据同格节点都被赋予空白值。7 多元回归法 多元回归(Polynomial Regression)是用来确定数据

10、的大规模的趋势和图案 多元回归实际上不是插值器，因为它并不预测未知的 z值，它只是根据空间的采样数据，拟台一个数学曲面，用该数学曲面来反映空间分布的变化情况，它实际上是一个趋势面分析作图程序。趋势面分析是对地质特征的空同分布进行研究和分析的一种方法，它是用某种形式的函数所代表的曲面来逼近该地质特征的空间分布。这个函数从总体上反映了采样数据的区域性变化趋势，称为趋势面部分；采样数据的实测值与这个函数对应值之差，称为偏差部分，它反映了，局部性的变化。这就是说，把采样数据的实测值分解成两部分，趋势面部分和偏差部分，趋势面部分用一个函数表示，它反映采样数据的总体变化，可以认为是由大范囝的系统性因素引起

11、的；偏差部分反映了，局部性的变化特点，可以认为由局部 因素和随机因素引起的。 使用多元回归法进行趋势面分析要考虑两个方面的问题:一是趋势面函数(数学表达式)的确定；二是拟合精度的确定。通常用的趋势面函数主要是多项式趋势面，因为多项式能够逼近任意连续函数，因此，用多项式作趋势面能较好地反映连续变化的分布趋势，这在地质科学中常用到。一般说多项式次数越高，则趋势面与实测数据偏差越小，但是，并不能说它就与实际情况最符合，这还要在实践中检验。次数较高的趋 势面只在采样点附近效果较好，在外推和内插的效果方面不好，因而在实际应用的效果并不理想。在实际应用中，对起伏变化比较缓和的简单采样数据配合次数较低的趋势

12、面，就可以反映出区域背景；而变化复 杂且起伏较多的采样数据要配合次数较低高的趋势面。 使用多元回归法时要涉及到曲面定义和指定 xY的最高次数设置，在曲面定义中选择所需的多项式类型，可选用的曲面类型：简单平面(Simple planar surface)、双线性鞍(Bilinear saddle)、二次曲面（Quadratic surface） 、三次曲面（Cubic surface） 、用户自定义多项式（User defined Polynomial） 。8 径向基函数插值法 所谓径向基函数(Radial Basis Function)，其基函数是由单个变量的函数构成的。一个点(x,y)的这种

13、基函数的形式往往是 hi(x,y)=h(di)，这里的 di表示由点(x,y)到第 i个数据点的距离。径向基函数插值法是多个数据插值方法的组合。根据生成一个圆滑曲面适应数据的能力。许多人认为其中的复二次函数是最好的方法。所有径向基函数插值法都是准确的插值器，它们都能尽量适应你的数据。若要生成一个更圆滑的曲面。对所有这些方法都可以引入一个圆滑系数。函数类型：最基本的函数类似于克里金中的方差图。当对于一个网格点插值时，这些函数为数据点规定了一套最佳权重。 基函数类型有：倒转复二次函数(Inverse Multiquadric)： RhB21)(复对数(Multilog)：B(h)=log( )h2

14、复二次函数(Multiquadratic)：B(h)= 自然三次样条函数(Natural Cubic 2Spfine)：B()一( +R ) 薄板样条法函数(Thin Plate Spline)：B(h)= 2/3式中 h为表示由点(x,y)到第 i个数据点的距离；R 参数是用户指定的平滑因子。 9 三角网线性插值法 三角网线性插值法(Triangulation with Linear Interpolation)使用最佳的 Delaunay三角形，连接数据点间的连线形成三角形 原始数据点的连结方法是这样：所有三角形的边都不能与另外的三角形相交，其结果构成了一张由三角形拼接起来的覆盖网格范囝的网。每一个三角形定义了一个覆盖该三角形内网格 节点的面。三角形的倾斜和标高由定义这个三角形的三个原始数据点确定。给定三角形内的全部节点 SURFER所采用的九种离散数据内插方法，几乎包括了目前所有的插值方法。该软件具有如此种类繁多的内插方法，这是其它同类软件所不能比拟的。一般可使用 SURFER默认的设置进行内插，生成网格文件，然后再绘制所需的图件 熟悉了各种内插方法的基本理论知识，根据各种数据的不同特点，结合数据分析的目的，就能科学地选择内插方法，灵活地进行参数设置内插生成网格文件，在此基础上绘制正确的图件，供我们提取更多的地学信息。