曲线运动典型问题

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1、曲线运动典型问题一、运动的合成与分解1.运动的性质和轨迹物体运动的性质由加速度决定（加速度得零时物体静止或做匀速运动；加速度恒定时物体做匀变速运动；加速度变化时物体做变加速运动） 。物体运动的轨迹（直线还是曲线）则由物体的速度和加速度的方向关系决定（速度与加速度方向在同一条直线上时物体做直线运动；速度和加速度方向成角度时物体做曲线运动） 。两个互成角度的直线运动的合运动是直线运动还是曲线运动？决定于它们的合速度和合加速度方向是否共线（如图所示） 。 常见的类型有：a=0：匀速直线运动或静止。a 恒定：性质为匀变速运动，分为： v、a 同向，匀加速直线运动；v 、a 反向，匀减速直线运动；v、a

2、 成角度，匀变速曲线运动（轨迹在 v、a 之间，和速度 v 的方向相切，方向逐渐向 a 的方向接近，但不可能达到。 ）a 变化：性质为变加速运动。如简谐运动，加速度大小、方向都随时间变化。2.过河问题如右图所示，若用 v1 表示水速，v 2 表示船速，则：过河时间仅由 v2 的垂直于岸的分量 v 决定，即 vdt， 与 v1 无关，所以当 v2岸时，过河所用时间最短，最短时间为 2dt也与 v1 无关。过河路程由实际运动轨迹的方向决定，当 v1v 2 时，最短路程为 d ；当 v1v 2 时，最短路程程为dv21（如右图所示） 。3.连带运动问题指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。由于高中研究的

3、绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。例 1. 如图所示，汽车甲以速度 v1 拉汽车乙前进，乙的速度为 v2，甲、乙都在水平面上运动，求 v1v 2解：甲、乙沿绳的速度分别为 v1 和 v2cos ，两者应该相等，所以有 v1v 2=cos 1例 2. 两根光滑的杆互相垂直地固定在一起。上面分别穿有一个小球。小球a、b 间用一细直棒相连如图。当细直棒与竖直杆夹角为 时，求两小球实际速度之比 vav b解：a、b 沿杆的分速度分别为 vacos 和 v

4、bsinv1 va1 ao v2 a2v2 v1v1v2vv1甲乙v1v2vavbv av b= tan 1二、平抛运动当物体初速度水平且仅受重力作用时的运动，被称为平抛运动。其轨迹为抛物线，性质为匀变速运动。平抛运动可分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动这两个分运动。广义地说，当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，做类平抛运动。1.方格问题平抛小球的闪光照片如图。例 2. 已知方格边长 a 和闪光照相的频闪间隔 T，求：v 0、g、v c解：水平方向： Tv20竖直方向： 22,as先求 C 点的水平分速度 vx 和竖直分速度 vy，再求合速度 vC：41,5,0 acyx2.

5、临界问题典型例题是在排球运动中，为了使从某一位置和某一高度水平扣出的球既不触网、又不出界，扣球速度的取值范围应是多少？例 3. 已知网高 H，半场长 L，扣球点高 h，扣球点离网水平距离 s、求：水平扣球速度 v的取值范围。解：假设运动员用速度 vmax 扣球时，球刚好不会出界，用速度 vmin 扣球时，球刚好不触网，从图中数量关系可得： hgsLs2)(/max)(2)(2/min Hhgsghsv实际扣球速度应在这两个值之间。 3.一个有用的推论平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。证明：设时间 t 内物体的水平位移为 s，竖直位

6、移为 h，则末速度的水平分量 vx=v0=s/t，而A BCDEv0vtvxvyhss/h Hs L v竖直分量 vy=2h/t， shv2tanxy， 所以有 2tanshs三、匀速圆周运动1.匀速圆周运动的特点匀速圆周运动是变速运动（v 方向时刻在变） ，而且是变加速运动（a 方向时刻在变） 。2.描述匀速圆周运动的物理量描述匀速圆周运动的物理量有线速度 v、角速度 、周期 T、频率 f、转速 n、向心加速度 a 等等。tvafnvrTttsv ,1,2, ，它们之间的关系是：r2,凡是直接用皮带传动（包括链条传动、摩擦传动）的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等；凡是同一个轮轴上（各

7、个轮都绕同一根轴同步转动）的各点角速度相等（轴上的点除外） 。例 4. 如图所示装置中，三个轮的半径分别为 r、2r、4r，b 点到圆心的距离为 r，求图中a、b、c、d 各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。解：v a= vC，而 vbv Cv d =124，所以 va vbv Cv d =2124； a b=21，而 b= C= d ，所以 a b C d =2111；再利用 a=v ，可得aaa b aca d=4124四、向心力和向心加速度（牛顿第二定律在圆周运动中的应用）1.做匀速圆周运动物体所受的合力为向心力“向心力”是一种效果力。任何一个力，或者几个力的合力，或者某一个力的某

8、个分力，只要其效果是使物体做匀速圆周运动的，都可以作为向心力。2.一般地说，做圆周运动物体沿半径方向的合力为向心力。当作圆周运动物体所受的合力不指向圆心时，可以将它沿半径方向和切线方向正交分解，其沿半径方向的分力为向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小；其沿切线方向的分力为切向力，只改变速度的大小，不改变速度的方向。分别与它们相应的向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢。3.圆锥摆圆锥摆是典型的运动轨迹在水平面内的匀速圆周运动。其特点是由物体的重力与弹力的合力充当向心力，向心力的方向水平。也可以说是其中弹力的水平分力提供向心力（弹力的竖直分力和重力互为平衡力）

9、。例 5小球在半径为 R 的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的 （小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度 v、周期 T 的关系。 （小球的半径远小于R。 ）abcdNGF解：小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上（不在半球的球心） ，向心力 F是重力 G 和支持力 N 的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。如图所示有： 22sinsitanmRvmg，由此可得： ghTv co,， （式中 h 为小球轨道平面到球心的高度） 。可见， 越大（即轨迹所在平面越高） ，v 越大，T 越小。本题的分析方法和结论同样适用于圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等

10、在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。4.竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及结论这类题的特点是：物体做圆周运动的速率是时刻在改变的，由于机械能守恒，物体在最高点处的速率最小，在最底点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有mgRvF2即 gRv，否则不能通过最高点。弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有： ： gRvmF,2，否则将离开桥面，做平抛运动。弹力既可能向上又可能向下，

11、如管内转（或杆连球） 。这种情况下，速度大小 v 可以取任意值。可以进一步讨论：当 时弹力必然是向下的；当 gRv时弹力必然是向上的；当 gv时弹力恰好为零。当弹力大小 Fmg 时，向心力只有一解：F +mg；当弹力 F=mg 时，向心力等于零。例 6杆长为 L，球的质量为 m，杆连球在竖直平面内绕轴 O 自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为 F=mg，求这时小球的即时速度大小。解：小球所需向心力向下，本题中 F=mgmg ，所以弹力的方向可能向上也可能向下。若 F 向上，则 2,2gLvg若 F 向下，则3,2Lvmg本题是杆连球绕轴自由转动，根据机械能守恒，还能求出小球在最低点的即

12、时速度。 特别需要注意的是：若题目中说明小球在杆的带动下在竖直面内做匀速圆周运动，则运动过程中小球的机械能不再守恒，这两类题务必分清。绳FGGF例 7如图所示，一小球被一绳子牵引在光滑水平的平板上，以速度 v 做匀速圆周运动，半径 R=30，v=2.0m/s,现将牵引的绳子迅速放长 20,使小球在更大半径的轨道上做匀速圆周运动,求:(1)实现这一过渡所经历的 时间? （0.2s）(2)在新轨道上运动时,小球 旋转角速度为多少? （2.4rad/s）五、万有引力 人造卫星1.用万有引力定律求中心星球的质量和密度当一个星球绕另一个星球做匀速圆周运动时，设中心星球质量为 M，半径为 R，环绕星球质量

13、为 m，线速度为 v，公转周期为 T，两星球相距 r，由万有引力定律有：222TrvrGM，可得出 2324GrvM，由 r、v 或 r、T 就可以求出中心星球的质量；如果环绕星球离中心星球表面很近，即满足 rR，那么由34可以求出中心星球的平均密度 。2.人造卫星（只讨论绕地球做匀速圆周运动的人造卫星）人造卫星的线速度和周期。人造卫星的向心力是由地球对它的万有引力提供的，因此有： 22TmrvrGM，由此可得到两个重要的结论： r1Mv和3T。可以看出， 人造卫星的轨道半径 r、线速度大小 v 和周期 T 是一一对应的，其中一个量确定后，另外两个量也就唯一确定了。离地面越高的人造卫星，线速度

14、越小而周期越大。近地卫星。近地卫星的轨道半径 r 可以近似地认为等于地球半径 R，又因为地面附近2RGMg，所以有min8510.2,/109.733 sgTsmgRv。它们分别是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的最大线速度和最小周期。同步卫星。 “同步”的含义就是和地球保持相对静止（又叫静止轨道卫星） ，所以其周期等于地球自转周期，既 T=24h，根据可知其轨道半径是唯一确定的，经过计算可得求得同步卫星离地面的高度为 h=3.6107m5.6R 地 ，而且该轨道必须在地球赤道的正上方，卫星的运转方向必须是由西向东。3.双星宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动。这种结构叫做双星。由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由F=mr 2 可得 mr1，于是有Lmrr2121,列式时须注意：万有引力定律表达式中的 r 表示双星间的距离，按题意应该是 L，而向心力表达式中的 r 表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为 r1、r 2，千万不可混淆。vOm1 m2r1 r2O