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1、求不定积分的几种方法刘灯（吉首大学数学与计算机科学学院，湖南 吉首-416000）摘 要 ：本文比较全面的总结了几种求不定积分的方法，并给出了相应的例子.关键词：直接积分；第一换元积分；第二换元积分；分部积分；有理函数积分Several methods of seeking indefinite integral Liu deng(Jishou University, School of Mathematics and Computer Science, Hunan Jishou -416000) Abstract: This article compares a comprehensive
2、summary of several seeking indefinite integral method, and gives examples of the corresponding Key words: direct integral; first substitution integral; second substitution integral; branch points; rational function integral 1引言 定义 1.1 设函数 与 在区间 上都有定义，若fFI，Ixf),(则称 为 在区间 上的一个原函数。FfI定义 1.2 函数 在区间 上的全体
3、原函数称为 在 的不定积分，记作fI，dxf)(其中称 为积分号， 为被积函数， 为被积表达式， 为积分变量。)(xf x定义 1.3 若 是 的一个原函数，则称 的不定积分是一个函数族 ，Ff f CF其中 是任意常数，为方便起见，写作C .CxFdf)()(这时又称 C 为积分常数，它可取任一实数值。定义 1.4 设 在 上有定义， 在 上可导，且 ，)(ug, )(uba, bxa)(，并记bax,.,)()(xgxf(i)若 在 上存在原函数 ，则 在 上也存在原函数 ,)(ug, uGfba)(xF，即xFCGdugxgdxf )()()(. (1)CGu)(ii)又若 ，则上述命题
4、(i)可逆，即当 在 上存在bax,0)( )(xfba,原函数 时， 在 上也存在原函数 ，且 = ，xFug)(uCuF1即 dxfxgd)()()(= . (2)CuF)(1以上(i)和(ii)分别称为第一换元积分法和第二换元积分法，公式（1）和（2）分别称为第一换元公式第二换元公式。定义 1.5 若 与 可导，不定积分 存在，则 也)(xuvdxv)( dxvu)(存在，并有（3）uxd)()()(公式（3）称为分部积分公式，常简写作.vd定义 1.6 有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为， （1）mnnxXQxpR10)(其中 为非负整数， 与 都是常数，且mn
5、, n,10 ,1 .0,0若 ，则称它为真分式；若 ，则称它为假分式。m定义 1.7 基本积分公式如下：（1） . （2）Cdx0.Cxd1(3) . （4） .)0,1(1x )0(ln1xCdx（5） . (6) .Cedx )1,(laaxx（7） .)0(sin1cosaxa（8） .coixd(9 .Ctasec2(10) .xc(11) .dxsetanse(12) .Cxcoc(13) .12arcosarsin1xx(14) 12 tctd2主要方法的列举及运用2.1根据基本积分公式求不定积分例 2.1 求 的不定积分。xdsin3co解 dxx)2sin4(21i.s Cc
6、o1.x)s(c82.2用第一换元积分法来求不定积分。利用该方法求不定积分的步骤是：（1）将 凑成 形式；（2）作变量代换，令 ；)(xf)(xg dxuxu)(),(（3）换回原来的变量，即 代替 ，从而求出函数的积分。u例 2.2 求 .xdtan解 由,cos)(cosintadxdxx可令 ，则得ugu1)(, .ln1tanCuxcoslx2.3利用第二换元积分法求不定积分，该方法的步骤为：（1）变量代换；（2）换回原来的积分。例 2.3 求 .)0(2adx解 令 ，于是,sintax tdtt22 cos)sin(coCttat)in1(212= +C)(arcsin22xx=
7、+C.i122a2.4利用分部积分法求不定积分，运用此方法的关键在于 与 的选取，)(xuv而 与 的选取又必须注意以下两点：（1） 要容易求；（2）)(xuv )(xv比 要容易求。d)(xdu例 2.4 求 .cos解 令 ，则有 由分部积分公式求得xv,.sin,1xvuddics.Cxxcos2.5用有理函数的不定积分法。看到一个不定积分函数，如果用换元积分法和分部积分法都无法解答出来，则必须用有理函数积分法。有理函数的积分可归结为多项式和最简真分式的积分，该方法适合于求有理函数的不定积分。例 2.5 求 .dxx22)(1解 在本题中，由于被积函数的分母只有单一因式，因此，部分分式分
8、解能被简化为 2222222 )(11)()(1 xxxx现分别计算部分分式的不定积分如下： .122 )arctn(1)( Cxdxdx2222 )()(1222 1)()(xxd= 22)(1td由递推公式，求得其中 12)()1(22 tttd= 22 )arctn()( Cxx于是得到 .)1arct(23)(2)2(1xxdxx 2.6用三角函数有理式的不定积分法。通常情况下，当被积函数是时，通过变换 ，可把它化为有理函数的不定积分。特别地，)cos,(inRtan当被积函数是 及 的有理式时，采用变换 往往较为x2cos,i xcosi xtan方便。例 2.6 求 .21dx解
9、令 ，则有t ,)1(8,1)(22dttdxttt)(42= dtt)12(Cttarcnln= .2arct2)(1l xx2.7某些无理根式的不定积分可化为有理函数的不定积分，然后再根据有理函数的不定积分法来求。 （1）当无理根式为 型 时，dcxbRn)( )0(bc只需令 ，就可化为有理函数的不定积分；（2）当无理根式为ndcxbat型 时， 时， 时，可将R),(20(a0;42acb)042acb其转化为以下三种类型之一： 当分别令,)(,),( dukRdukuR后，它们就都化为三角有理式的不定积分。tkuttkusin,sec,an例 2.7 求 .32xdI解 若令 则可解出,2tx,)1(23,)1(23dttdxtx.)1(23)(tt于是所求不定积分直接化为有理函数的不定积分： dttttI 222 )(*)3(1*3)( = Cdtarctn2= .xx3arctn32参考文献：1 华东师范大学数学系M.北京：高等教育出版社,2001 年 6 月.
