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1、期 末 考 试试 题 答 案 及 评 分 标 准学年学期: 专 业: 数学与应用数学 班 级: 数学 课 程: 偏微分方程数值解法 教学大纲: 偏微分方程数值解法教学大纲(自编,2006)使用教材: 偏微分方程数值解法 教材作者: 陆金甫、关治 出 版 社: 清华大学出版社 1一、判断题(每小题 1 分,共 10 分)1、 (O) 2、 (O) 3、 (X) 4、 (X ) 5、 (O)6、 (O) 7、 (O) 8、 (X) 9、 (X) 10、 (O )二、选择题(每小题 2 分,共 10 分)11、 (D) 12、 (A) 13、 (C) 14、 (B )15、 (C)三、填空题(每小题
2、 2 分,共 20 分)16、 17、A=4 5 9;23 5 17;11 23 1 18、y=exp(-t/3)21nxx*sin(3*t)19、help 20、zeros(m,n) 21、inva(A)*b 或者 A/b 22、A=sym(cos(x-y),sin(x+y);exp(x-y),(x-1)3) 23、 2 21()()()0asbscs24、 25、 1ixved1,(,)jnjnuxtt四、计算题:(每小题 12 分,共 36 分)26、写成对流方程 ( )的有限差分方程(两层显示0atx,0Rt格式,用第 n 层计算第 n+1 层) ,并把有限差分方程改写为便于计算的迭代
3、格式为网格比。/h解:在点 处,差分方程为(,)jxt( , ) (8 分)110nnjjuuah,12,j 0,12n便于计算的形式为, (4 分)11()nnjjjj/h27、写出扩散方程 的有限差分方程(中心差分格式,用第 n 层2uatx计算第 n+1 层) ,并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式, 为网2/h格比。解 所给对流扩散方程的近似差分方程为( , ) (8 分)11120nnnjjjjjuuah,12,j 0,1n便于迭代计算的格式为, (4 分)111()nnnjjjjju/h28、计算差分格式 , (其中 , )的增长jjjjuaa因子,并根据 von Neuman
4、n 条件给出差分格式稳定性条件。解 令 ,代入 ,得到nijkhjuve11()nnjjjj21(1)nijkhnijkhnikhjveave消去公因子有(6 分)()ik增长因子为 (,)11(cos)sinikhGkaeahak所以有 222|,|(cos)ink214()ih如果 ,则有 ,根据 von Neumann 条件,格式是稳定的。 (6 分)1a,)|k五、证明题(12 分)29、把下列 Richardson 格式改写为与其等价的二层差分格式,利用求增长矩阵的特征值的方法证明该格式破坏了 von Neumann 条件,从而证明此格式不稳定。,1112()nnnjjjjjuau2
5、/h证明 把已知的三层格式化为二层差分方程组 112njjjjjnjjvu令 ,则以上方程组可以改写为 ,nnTjjuv(4 分)11 1204020nnnj j j jjnj j j juuaaavvv 或 11 1000nnnnj j j juuuu 令 ,代入上式消去公因子 ,得到nikjhjuve ikjhe1(1) (1)242ij nij nijkhnijkhaaavveve (4 分)002ikh iknijkhe 化简系数矩阵得到 218sin10n nhavv其特征值为 2241,24sin16sinkhkhaa取正的为 ,则有1 21|si由此不满足 von Neumann
6、 条件,所有 Richardson 格式是不稳定的。 (4 分)3六、编程题(12 分):30、用 Matlab 的 M 文件的形式(function 函数)写出以下迭代格式的计算程序。,11()nnjjjjuau/h初始条件为 , 。(,0)si,uxx0,0tt解 设 a 为方程中的系数 a,tao 为时间步长 , 为空间步长,N,M 分别为时间和空间的最大计算步数。function 函数如下function u=jch(a,tao,h,N,M)% u=1;t=0.5;x=1;lamda=tao/h;for j=1:Nx(j+1)=x(j)+tao;for n=1:Mt(n+1)=t(n)+h;if j=1u(j,n)=sin(pi*x(j);else if n=1u(j,n)=0;elseu(j,n)=(1-a*lamda)*u(j,n-1)+a*lamda*u(j-1,n-1);%u(j,n)=0;endendendendend