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1、期 末 考 试试 题 答 案 及 评 分 标 准学年学期： 专 业： 数学与应用数学 班 级： 数学 课 程： 偏微分方程数值解法 教学大纲： 偏微分方程数值解法教学大纲（自编，2006）使用教材： 偏微分方程数值解法 教材作者： 陆金甫、关治 出 版 社： 清华大学出版社 1一、判断题（每小题 1 分，共 10 分）1、 （O） 2、 （O） 3、 （X） 4、 （X ） 5、 （O）6、 （O） 7、 （O） 8、 （X） 9、 （X） 10、 （O ）二、选择题（每小题 2 分，共 10 分）11、 （D） 12、 （A） 13、 （C） 14、 （B ）15、 （C）三、填空题（每小题
2、 2 分，共 20 分）16、 17、A=4 5 9;23 5 17;11 23 1 18、y=exp(-t/3)21nxx*sin(3*t)19、help 20、zeros(m,n) 21、inva(A)*b 或者 A/b 22、A=sym(cos(x-y),sin(x+y);exp(x-y),(x-1)3) 23、 2 21()()()0asbscs24、 25、 1ixved1,(,)jnjnuxtt四、计算题：（每小题 12 分，共 36 分）26、写成对流方程 （ ）的有限差分方程（两层显示0atx,0Rt格式，用第 n 层计算第 n+1 层） ，并把有限差分方程改写为便于计算的迭代
3、格式为网格比。/h解：在点 处，差分方程为(,)jxt（ ， ） （8 分）110nnjjuuah,12,j 0,12n便于计算的形式为， （4 分）11()nnjjjj/h27、写出扩散方程 的有限差分方程（中心差分格式，用第 n 层2uatx计算第 n+1 层） ，并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式， 为网2/h格比。解 所给对流扩散方程的近似差分方程为（ ， ） （8 分）11120nnnjjjjjuuah,12,j 0,1n便于迭代计算的格式为， （4 分）111()nnnjjjjju/h28、计算差分格式 ， （其中 ， ）的增长jjjjuaa因子，并根据 von Neuman
4、n 条件给出差分格式稳定性条件。解 令 ，代入 ，得到nijkhjuve11()nnjjjj21(1)nijkhnijkhnikhjveave消去公因子有（6 分）()ik增长因子为 (,)11(cos)sinikhGkaeahak所以有 222|,|(cos)ink214()ih如果 ，则有 ，根据 von Neumann 条件，格式是稳定的。 （6 分）1a,)|k五、证明题（12 分）29、把下列 Richardson 格式改写为与其等价的二层差分格式，利用求增长矩阵的特征值的方法证明该格式破坏了 von Neumann 条件，从而证明此格式不稳定。，1112()nnnjjjjjuau2
5、/h证明 把已知的三层格式化为二层差分方程组 112njjjjjnjjvu令 ，则以上方程组可以改写为 ,nnTjjuv（4 分）11 1204020nnnj j j jjnj j j juuaaavvv 或 11 1000nnnnj j j juuuu 令 ，代入上式消去公因子 ，得到nikjhjuve ikjhe1(1) (1)242ij nij nijkhnijkhaaavveve （4 分）002ikh iknijkhe 化简系数矩阵得到 218sin10n nhavv其特征值为 2241,24sin16sinkhkhaa取正的为 ，则有1 21|si由此不满足 von Neumann
6、 条件，所有 Richardson 格式是不稳定的。 （4 分）3六、编程题（12 分）：30、用 Matlab 的 M 文件的形式（function 函数）写出以下迭代格式的计算程序。，11()nnjjjjuau/h初始条件为 ， 。(,0)si,uxx0,0tt解 设 a 为方程中的系数 a，tao 为时间步长 ， 为空间步长，N，M 分别为时间和空间的最大计算步数。function 函数如下function u=jch(a,tao,h,N,M)% u=1;t=0.5;x=1;lamda=tao/h;for j=1:Nx(j+1)=x(j)+tao;for n=1:Mt(n+1)=t(n)+h;if j=1u(j,n)=sin(pi*x(j);else if n=1u(j,n)=0;elseu(j,n)=(1-a*lamda)*u(j,n-1)+a*lamda*u(j-1,n-1);%u(j,n)=0;endendendendend
