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1、65第三篇 对称性与不变性对称性的重要意义：伽利略变换下的不变性牛顿力学的基石之一。洛仑兹变换下的不变性相对论的基石之一。对称性守恒律（量）21 世纪的重大问题之一：理论越来越对称，实验越来越多地发现不对称 “矛盾”？！（参见李政道物理学的挑战）本篇主要内容：1、转动对称性问题自旋与角动量；2、粒子交换对称性问题全同粒子问题；3、时空交换对称性问题对称性与守恒律问题。第八章 自旋与角动量8.1 电子自旋1925 年实验提出1928 年相对论波动力学自动从理论上引入量子力学。自旋 描述微观粒子特征的基本物理量。一、 关于自旋的实验事实（原子物理已讨论） 纳黄线的精细结构；复杂（反常）塞曼效应；斯
2、特恩-盖拉赫实验。为了解释实验现象，引入新的自由度（在内禀空间中）。二、乌伦贝克-哥德斯密特假设1、 每个电子具有自旋角动量 ，它在空间任何方向上（取作 z 轴）的投影只S能取两个值 。2zS2、 每个电子的自旋磁矩 与自旋角动量 的关系为SMS。BzzSS Mee2, 自旋磁矩与自旋角动量的比值称电子自旋的回转磁比率： 朗德因子。,2SSzSge66与轨道角动量的回转比率比较： 朗德因子，知 。1,2LLzLgeMLSg2注意：轨道角动量有经典对应 ，自旋角动量没有经典对prr应。如果设想为经典自转违背相对论。自旋是内禀自由度（对经典讲，是全新的概念）8.2 自旋算符与自旋波函数问题：自旋算
3、符如何定义？自旋如何描述？基本思路 由对易关系定义算符。（无经典对应）已知“轨道”： 。yxzxzyzyx JiJiJiJi ,一、自旋算符的对易关系及自旋算符的本征值定义：yxzxzyzyx SiSiSiSi ,0222 z实验表明： 。43, 222 SSSS zyxzyx类比： 角量子数。jjjJ,.210,)(22有 自旋量子数。/,43122ssS二、泡利算符的对易关系及泡利算符的本征值令 泡利算符2yxzxzyzyx iiii 2,2, 11,1zyzx。Izyx22反对易关系： 。FGFG,易知 0,00xzzyyx67三、自旋算符在 表象的矩阵表示,2zS表象中 。zzS 10
4、102zzS现在求 ： 令 yx, dcbax ： x。 dbacbdadcbab x* , ：0,xz dadbazxz 20110*。0, *dax ： ，Ix2 iebbb 2*010取最简形式 ，有 。1x 。0)(21iizxzy这样自旋算符的矩阵表示就全部求出： 102,2,10zyx SiSS相应的泡利矩阵为：,0,0zyxi四、电子自旋波函数取 -表象：zS baSbazz 2121,68有 即21212121,zzSS，0,0beabai。i,1取 有 ，0 1,010,0 212121221 构成正交归一完备集。任一自旋波函数可以展开成。baaSz2121)(其中， 电子自
5、旋向上的几率； 电子自旋向下的几率。归一化要求有2a。12a引导学生自学教材 P290-293 的例题 1-3。例：教材 P294 例 4。（只讲思路，不讲计算细节）求 的本征函数和本征值。求该本征态中 的可能值、相应几率和nS zS平均值。解：。coscso2iiSn本征值方程为 。ban,由久期方程 。210cossco nSii将 代入方程求 a，得 1 bi1s由归一化条件 ，得 。于是有12cosb。1cscsi69同理得。1cos2cos1i将 用 展开21,， 10102cos0cos1cs BAi的几率； 的几率。于是有2cos2zSA in2zSB。cssi)(2z同理讨论
6、的相关问题。作业：习题 8.2、2，3，4，6。8.3 泡利方程 磁共振（重点讲清思路，不推导细节）一、考虑自旋后的电子波函数将 用 展开，系数为 的函数：21),(tr。)()()2121221 rSrSzz 二、考虑自旋后的力学量算符一般形式： 。21F三、泡利方程将有电磁场的 S-方程推广到包含自旋的情况。自旋磁矩 BMHSeMSS rUApHB )(22 泡利方程。Eti,四、用分离变量法求解泡利方程令 ),(,),(,0 tStrtSrzzS70。),(),(),(),(0 tSHtSitrHtri zz设 定态。 baEtbatitbaSS,)()(:)(（关于 ，前面已经讨论，本
7、章注意力在自旋问题）,r五、顺磁共振和核磁共振1、自由电子在均匀恒定磁场 中的运动：zeB0102010MEBHBzS 守恒，电子的自旋状态要发生变化（高能态 低能态 ）,zSz E，必然要与外界交换能量。2、再加上正弦场 ：01B。 01100111 )sincos( BeMBttMH titiBzyxBS 令 ，由,0100 )()(0110tbaBetbadi titiB可得 tita221)sinco()。20210)(,1 tietb3、电子自旋共振：若 t=0 时，电子处于自旋向下态，即 titiz eittbatSba 112021 )sin2(cos),(1,0, 。当外场 （
8、称为拉莫频率）时，有0012BM71。tBMiBtiz etitS010)cos(n),(1此式表明，当 时，电子自旋向上的几率为 1，,.2,)2(1nMtB自旋向下的几率为 0。比较： t )1(tB z 轴反转，能级跃迁。100 EE可见，在半周期 ，与外界交换能量 。 BMt:21 02BME这种在静磁场作用下，电子的磁能级分裂，并在弱交变磁场的作用下所引起的共振吸收和共振发射的现象，称为电子自旋共振。可用类似的方法讨论核磁共振（自学教材或参考有关文献）。8.4 角动量算符的基本性质（一般性讨论 代数法的实例）一、角动量算符的定义式： 。22, zyxJJiJ二、角动量算符的本征值谱设
9、 ?,22 mmmJz 1、引入新算符 )(21),(21, JiJJi yxyx 一系列对易关系 见教材 P307 （9）（10）（ 11）。由此可得zzJJ222、 的本征值为zJm 设 m 的上限为 j，则 。jj 相邻的 ：1。mJJJJzzz ,)1(,)(, 72可见 是 的本征矢，本征值为 ，即有mJ,zJ)1(m。,)(C同理有 。)(Jm个。)12(,1,., jjjmJz3、 的本征值为22)1(jj 为 m 的最大值， 0,)(jCjJj将 作用于 ，并利用 ，有J0,jzzJ2jjjJzz ,)(,)(0 22 mjJmjj z,1,)1, 2 j 的取值范围：设 m
10、有 N 个值，且已知 ，21NjjN可见，j 取零、整数和半整数。如轨道角动量 j=l，电子自旋角动量 。2j三、 表象中角动量的矩阵表示zJ,2已知 。mj jJjjmjj ,)1(,22问题： ?,?, JJyx由 （1）,)(jCjm（2）)(Jj1,)(, mjj 的非零矩阵元为 J?,1, )()(jmjCjJmj对（1）式两边取共轭：，1,)*(jCj两边同乘以（1）式：73，222)( )1)(, mjjJmjjJjCzzjm取实部 。,)(,)1)()( jjjJjj 非零矩阵元 ，)1)(, mjjj取共轭 。)(1, jmjJj再利用 与 的关系，得到非零矩阵元：yxJ,，
11、)1)(2, mjjJjx。1imy作业：习题 8.3、1，2，4；习题 8.4、3。8.5 两个角动量的相加一、总角动量算符及其对易关系。212121222121 )(,0, JJJJJJ zyx 。,0,0,iizi二、总角动量的本征值与本征矢1、无耦合表象与耦合表象无耦合表象：以 的共同本征态为基矢，记 ，有),(212zzJ 21mj2121212(mjjmjJ2jz212212 )(jjjJ212 mjmz 耦合表象：以 的共同本征态为基矢，记 ，有),(21zJ mj21jjjJ2112(74mjjmjJ21221)(jjJz 21212、两种表象基矢之间的关系 C-G 系数将 用
12、 展开 给定 ：mj21 21j 21,jmjm1,21 称为 C-G 系数，它是由“ 无耦合表象”到“耦合表象”jj2121的么正矩阵元。只要知道了 C-G 系数，就可以建立起两种基矢的关系。*三、C-G 系数的求法及应用1、C-G 系数不为零的条件（我们只给出结果，证明见教材） ； 。21m2121jjj2、C-G 系数的计算，C-G 系数表（计算非常复杂，实用中可直接查表略）。*8.6 光谱的精细结构耦合： 能级分裂精细结构（同样的 n,l，能级有两个）。LSSLrH)(*8.7 复杂（反常）塞曼效应弱磁场中： 分裂数不是三个，间隔也不尽相同。SLr)(复杂（反常）塞曼效应8.8 自旋单态与三重态一、总自旋角动量及其对易关系。212121222121 )(,0, SSSSSzyx 。ii ,对于电子， 。221
