矩阵对角化的若干方法

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1、矩阵对角化的若干方法冯莉（吕梁学院汾阳师范分校数学与科学系，山西吕梁，032200）摘 要：矩阵对角化是矩阵理论中的一个重要问题，本文主要介绍了三种将矩阵对角化的方法和一些特殊矩阵对角化的方法，并以例题加以说明。关键词：可对角化；特征值；特征向量；对角化方法；矩阵初等变换1 引言形式最简单的对角矩阵在矩阵理论中占有重要地位，研究矩阵对角化问题是很有实用价值的。主要体现在线性变换对不同基下矩阵的相似关系和二次型在化简过程中矩阵之间的合同关系。利用这些关系可以很快求出矩阵的方幂、方阵的行列式和逆、幂等矩阵的秩与迹的关系等问题。另外，矩阵对角化对于我们在几何上研究二次曲面也有一定的帮助。然而，我们知

2、道 方阵在复数域 上一定与上（下）三角阵相)2(nC似，在一些特殊情况下，它才与对角阵相似。基于此，本文介绍矩阵对角化的三种方法：用特征值和特征向量将矩阵对角化、用矩阵的初等变换将矩阵对角化、用矩阵的乘法运算将矩阵对角化，然后介绍了几种特殊矩阵对角化的方法作为补充。2 有关定义、命题与结论为了全文的完整叙述，摘录有关命题、结论、定义如下：定义 如果数域 上，对 级矩阵 存在一个可逆矩阵 使 为对角形矩阵，PnATA1则称矩阵 在数域 可对角化；当 可对角化时，我们说将 对角化，即指求可逆矩A阵 使 为对角形矩阵。T1由特征值、特征向量的定义， 的特征值 在主对角线上的次序应与其相、 21应特征

3、向量在可逆矩阵 的次序相一致。T命题 1 阶方阵 与对角阵相似 有 个线性无关的特征向量nAAn推论 1 阶方阵 有 个不同特征值，那么 与对角阵相似n命题 2 设 阶方阵的全部特征值为 ，那么 与对角阵相似)(s21n、 A，我们这里称 叫做 特征子空间的几何维数nVsii1dm iVdmi推论 2 阶方阵 与对角阵相似 的每一个特征值的代数重数等于它的几何重AA数以上结论是矩阵对角化方法的理论基础，其他的定理、方法都是在此基础上推导出来的。3 矩阵对角化的三种方法3.1 利用特征值和特征向量将矩阵对角化由于这种方法相对来说比较基础、简单、机械，一般教材都有详细介绍，这里用图示加以总结。3.

4、2 利用矩阵的初等变换将矩阵对角化定理 如果 经过初等变换化为 ，其中 表示特EA，/)()(PD， /)(AE征矩阵的转置， 为对角阵，则D1） 的特征值为 对角线上元素乘积所得的关于 多项式的根A)(2）对于 的每一个特征值 ，其特征向量是 中与 的零行对应的行向i)(iP)(i量3）由 2 中的推论 2 可得出， 可以对角化的充要条件是 中零行的数目等于A)(iD的重数i说明：对 作初等变换使 化为 的过程中，使用的列变E，/)(/)(E)(换不影响 的线性无关的解，从而收到了特征值、特征向量同步求解的0/XA效果，以致于可逆矩阵 和对角矩阵的求解可以分别从最终的 矩阵 和 中T)(PD

5、“读”出来。3.3 利用矩阵的乘法运算将矩阵对角化定理 设 是 在数域 上的全部互不相同的特征值s21、 AP1）若 ，则 可以对角化，反之则反0)()(2EEAs A2）设 是 重根，则 的属于 的特征向量是矩阵 列向ir ),21si )(1EAjsij量组中的前 列说明：相比起来此法在具体对角化的过程中运算量没有明显减少，但因其步骤简单、求解思路清晰可以作为利用数学软件求解的理论依据。因为计算机在求解特征值、矩阵乘积时只需要一行简单的代码即可完成。例 判定矩阵 可否对角化，若可以，求可逆矩阵 ，使1632A T为对角阵AT1解法一： ，所以特征值是-4 和)4(21632| AE2（二重

6、）解齐次线性方程组 ，得一基础解系为0)4(X/)3,2(解齐次线性方程组 ，得一基础解系为 和 ，特征值 2 的代数2AE/10/,重数等于其几何重数，所以 可对角化。取 ，则2130T241T解法二： 101633)(/ EA， 301)4(2420201301242021 ，故 的特征值是-4 和 2（二重）1)4( A，得 是 属于-4 的特征向量。32106)4(PD， /)3,2(，得 和 是 属于 2 的特征向量。1)2(， /),10(/),(A于是，取 ，则3210T 241AT解法三：由上知-4 和 2 是 的全部不同的特征值，容易验证=0，所以 可对角化。由定理可知，2

7、是二重根， 的属于 2 的特征)(4EA A向量是矩阵 列向量组的前 2 列； 的属于-4 的特征向量是矩阵A列向量组的前 1 列，由此可得出可逆矩阵为：2，则367T 42T上述 3 种方法各有利弊，在使用的时候须结合矩阵本身的特点加以区别对待，灵活把握。4 几种特殊矩阵对角化的方法对一般矩阵对角化方法的补充4.1 实对称矩阵的对角化实对称矩阵一定可对角化，可以按照合同关系利用二次型的配方法、按照相似关系利用特征值、特征向量将其对角化。一般教科书给出的方法可以简述为：（1）求特征值（2）求对应的特征向量（3）将特征向量标准正交化（4）写出 及 。这里限于篇幅不举T),(211 ndiagA例

8、介绍。4.2 循回方阵的对角化4.2.1基本循回阵的对角化阶矩阵 称为基本循回阵，容易求出它的特征方程为n01100 P，在复数域上有 个不同的特征根：1nn )1,0(2sinconkkk 取向量 ，则有 （因 ） ，则，1nkk knkkP1010012 nk为特征值 对应的 的特征向量。做矩阵 。因为1nkkkP11nnT 为 Vandermonde 行列式，所以可逆。|T 111nT4.2.2循回阵的对角化矩阵 称为循回阵， 可以由基本循回阵的多项式表032130211120ccccQnn Q出： ，设 ，则10 nPPEc 1210)( nxcxcxf ，所以循 )()()( 111

9、1101 nnn ffTcTQT 回阵都是可以对角化的。4.3 对合矩阵一定可以对角化设 为对合矩阵，则 。AEA2设 为 的特征值， 为属于 的特征向量， )()()(2 AA，又 ，得 ，移项得 ，即222 10)1(2由 + ，对特征值 1，齐次线性方程组 =0 有E)(rnr)( XE)(个特征向量。对特征值-1，齐次线性方程组 =0 有)(An个特征向量。又因为属于不同特征值的特征向量线性无关，所)(rr以 有 个无关的特征向量，从而 可对角化。AnA4.4 幂等矩阵一定可以对角化设 为幂等矩阵，则 。A2幂等矩阵对角化的讨论与对合矩阵对角化的讨论类似，但幂等矩阵的特征值只有1 和

10、0，同样可以对角化。4.5 非零的幂零矩阵一定不可对角化设 为非零的幂零矩阵，则 ，且 。A0mA易知 的特征值全为 0，若 可对角化，则存在可逆矩阵 ，使 ，所T01A以 ，与 矛盾。所以，幂零矩阵若可对角化，那么一定是零矩阵。01T本文主要阐述总结了一些矩阵对角化的方法，简捷方便，易于操作，可以在遇到实际问题需要矩阵对角化做以参考。但为了深入理解高等代数关于对角化的重要思想，还应该知道每一种方法、定理的理论依据，本文限于篇幅，这里多做省略。参考文献【1】 王萼芳，石生明.高等代数M.北京：高等教育出版社，2003【2】 魏站线.线性代数要点与解题M.陕西：西安交通大学出版社,2006.【3

11、】 陈汉藻.矩阵可对角化的一个充要条件J.数学通报，1990.2.【4】 高吉全.矩阵特征值与特征向量的同步求解方法探讨J.数学通报，1991.12.Several Methods of The Diagonalization of MatrixFeng Li（The Math and Science Department of Lvliang College Fen Yang Teachers school，ShanXi LvLiang，032200）Abstract: Diagonalization of matrix is an important issue in matrix the

12、ory.This paper,introduces three methods of matrix diagonalization and some special matrix diagonalization,and illustrates it with examples.Key words：diagonalizable; eigenvalues; eigenvectors; the method of diagonalization;matrix elementary operation作者简介：冯莉（1981.3） ，女，山西忻州人，本科，助教，研究方向：代数几何通讯地址：山西省汾阳市文峰路 8 号吕梁学院汾阳师范分校，15536478859