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1、 学年论文（本科）学 院 数学与信息科学学院 专 业 信息与计算科学 年 级 2009 级 姓 名 张晓函 论文题目 矩阵的秩 指导教师 彭玉成 职称 讲师 成 绩 2009 年 5 月 25 日学号：20095034022 学年论文成绩评定表评 语成 绩： 指导教师(签名): 200 年 月 日学院意见：学院院长(签名): 200 年 月 日 目 录摘 要 1关键词 1Abstract 1 Keywords 1引言 11 预备知识 1 2 矩阵的秩的性质 23 矩阵秩的计算 44 矩阵秩的应用 85 结束语 9参考文献 91矩阵的秩学生姓名：张晓函 学号：20095034048数学与信息科学
2、学院 信息与计算科学系指导教师：彭玉成 职称：讲师 摘要：本文是关于求一个数字矩阵的秩的方法的初步探究.归纳总结了求矩阵秩的常用方法.关键词：矩阵；初等变换；子式；极大线性无关组Matrix rankAbstract: This article is about for a digital matrix rank of the preliminary inquiry method. Summarizes the commonly used method of matrix rankKeywords: matrix,elementary transformation, son,great lin
3、early independent groups前言矩阵是贯穿线性代数的一块重要内容而对矩阵秩的探究是我们学习矩阵的一个重要部分.也是我们判断线性方程组解的情形的重要手段下面就来具体讨论、探究数字矩阵秩的求解方法.1预备知识定义 1.1：矩阵 A 中不为零的子式的最高阶数称为 A 的秩.记作 ()r定义 1.2：矩阵的行秩就是矩阵行向量的秩；矩阵的列秩就是矩阵列向量的秩.定义 1.3：在一个 矩阵 中任意选定 行和 列，位于这些选定的行和列的交点snk上的 个元素按原来的次序所组成 级行列式，称为 的一个 级子式.2k Ak定义 1.4：向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.
4、2.矩阵的秩的性质1）现在我们来研究矩阵的秩具有哪些性质，从而利用这些性质求矩阵的秩。性质 2.1 矩阵的行秩与列秩相等2证 设所讨论的矩阵为 ，121212nssnaaA而 的行秩 ，列秩 为了证明 ，我们先来证明 rrr11r以 代表矩阵 行向量组，无妨设 是它的一个极大线性无12,s A2,r关组因为 是线性无关的，所以方程r10rx只有零解，也就是说，齐次线性方程组 1212120rnrnaaxx 只有零解则这个方程组的系数矩阵 121212rnrnaa的行秩 因之在它的行向量中可以找到 个线性无关的，譬如说，向量组r， ，121,ra 22,ra 12,rra线性无关那么在这些向量上
5、添加几个分量后所得的向量组， ，121,rs 122,rs 12,rrsraa 也线性无关它们正好是矩阵 的 个列向量，有它们线性无关性可知矩阵A的列秩 至少是 ，也就是说 A1r1r用同样的方法可证 这样，我们就证明了行秩与列秩相等性质 2.2 初等行（列）变换不改变矩阵的秩证 矩阵的初等行变换是把行向量组变成一个与之等价的向量组，而我们知道，等价的向量组都有相同的秩因此，初等变换不改变举证的秩同样的，初等列变换也不改变举证的秩3定理 2.1 一矩阵的秩是 的充分必要条件是矩阵中有一个 级子式不为零，同时所有r r级子式全为零1r3. 矩阵的秩的计算3.1 方法一 初等变换分析：由性质 2
6、可知，矩阵经初等变换后，其秩不变因此，可用初等变换求矩阵的秩用初等变换求矩阵的秩，级可一用初等行变换，也可用初等列变换，也可交替进行把替个矩阵 化为阶梯行矩阵由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行（列）数的A个数，所以化得的阶梯形矩阵中非零行（列）数就是矩阵 的秩A3.1.1 已知，求 12043610A()rA解：对矩阵 进行初等行变换化阶梯形 1201201204 341363430A因为非零行的个数为 3，故 ()rA注：此方法使用方便，不需要计算行列是，也不需要考察向量组的相关性，因此，是求秩最常用的方法3.2 方法二：计算子式法分析：由定义 1，矩阵的秩就是矩阵中不等于零的子式的最高阶数根据
7、这一定义，要求矩阵 的秩，需计算行列式的各阶子式从阶数最高的子式开始，一直A找到不等于零的子是中阶数最大色一个子式则这个子式的阶数就是矩阵 的秩A3.2.1 设4，求 1204361A()rA解：因为 只有 4 行，所以 的每 4 阶子式都取遍 的 4 行；又因为 有 5 列，所AA以每次取出 4 列按原来的顺序组成的 4 阶子是共有 个，它们是5C12036141203641023112043612046所以 的所有 4 阶子式都等于零，在考虑 的 3 阶子式，有一个 3 阶子式AA21406o所以由定理 1 可知， ()rA33.3 方法三：综合法综合使用初等变换和计算子式法秋菊在的秩的方
8、法称为综合法先对矩阵 施A行初等变换，将其化为比较简单的形式 (不必为阶梯形)，然后用计算 的子式的BB方法求出 ()rAB3.3.1 求下列矩阵 的秩14268209177345解：51426820009176421977343556A6102917734B显然 的所有 4 阶子式均为零， 中有一个 3 阶子式不为零，故 B ()rAB3.4 方法四：求极大线性无关组法因为秩 的行秩 的列秩，而由定义 3 可知，向量组的极大线性无关组()AA所函向量的个数所以，求矩阵 的秩可转化为求 的行向量或列向量的极大线性A无关组所含向量的个数3.4.1 求下列矩阵 的秩615741238406A解 设
9、 的 5 个列向量依次为 12345,16,2423,65247,105,8由于 对应分量不成比例，故 线性无关12, 12,而 ， ， 故 是 的列向量的极大线性34125212,A无关组，所以秩 ()A4 矩阵的秩的应用矩阵的秩的应用很广泛，但由于目前所学知识的有限，现只讨论矩阵的秩在齐次线性方程组中的应用61.1.1 求解齐次线性方程组123453450xx解 对系数矩阵 进行初等行变换A1214305A21045121060712100B得到同解的方程组的系数矩阵为 ，则有， ， ()3rAB5n()2rA故此方程组有两个自由未知量，选主元所在的未知量为独立未知量即 为独134,x立未知量， 为自由未知量得到同解方程组25,x13450x取 和 得基础解系为25,25,1x， 1()(,0)于是 的一般解为 （其中 为任意实数）0Ax12k12,k5 结束语通过对该部分知识的研究和总结，我对矩阵的求秩问题有了更深刻的认识激发了我对矩阵这部分知识的学习兴趣，同时我也认识到随着对知识的深入学习，在不久的将来，矩阵的秩将运用到更广泛的领域参考文献1北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第三版)M.北京：高等教育出版7社，2003.2张学元线性代数能力试题题解华中理工大学出版社M20033俞正光线性代数与空间解析几何学习指导：典型例题精析北京:科学出版社M2003
