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1、西北第二民族学院学士学位论文1前 言众所周知,初等变换是高等代数中分析问题、解决问题的一种非常重要的思想方法,它贯穿于高等代数教材体系的始终。这种思想方法的实质是将问题化繁为简、化大为小、化多为少,并且保持事物的某些性质不变。矩阵的初等变换起源于解线性方程组的三类同解变换：即交换两个方程的位置；给某一个方程乘以一个非零常数；给某一方程乘以某常数后加到另一个方程上。我们知道,一个线性方程组与它的增广矩阵唯一对应,因此当矩阵初等变换这一概念提出来以后，解一个线性方程组就等价于利用矩阵的初等变换来化简一个增广矩阵。至此,矩阵的初等变换似乎已经完成了它所要承担的“任务”。但事实远非如此,随着矩阵理论的
2、发展,新概念不断产生,新问题也随之产生,如求解矩阵的秩,化二次型为标准形以及求矩阵的特征值和特征向量等。尽管这些问题也可以通过别的途径解决,但当我们利用矩阵的初等变换来处理上述问题时，往往会感觉到简便易行，有时甚至比用这些定义本身去解决相应问题更有效。近年来,矩阵初等变换在解决线性代数有关问题中的特殊作用逐步显现,但在一般的教材和文献中很少有对其进行详细归纳和总结的。本文便是通过查阅各种文献资料,在前人的基础上进行补充和完善而成的。本文首先介绍了矩阵初等变换的定义；接着总结了矩阵初等变换的五条重要性质并对其进行了严格地证明；然后结合相应的实例详细地探讨了矩阵初等变换在求矩阵的秩,求可逆矩阵的逆
3、矩阵,解矩阵方程,求矩阵的特征值,判断向量组是否等价,化二次型为标准形等十一个典型问题中的重要应用；最后对矩阵初等变换进行了合理的推广 广义的矩阵初等变换,即分块矩阵所对应的初等变换和 -矩阵所对应的初等变换，广义的矩阵初等变换与普通的矩阵初等变换相比有着不同的性质因而它们适用于解决不同的代数问题。西北第二民族学院学士学位论文2第一章 矩阵的初等变换分别称以下三类变换为矩阵的第，类初等行变换： 换法变换：对调矩阵中任意两行的位置； 倍法变换：以一个非零常数乘以矩阵中某一行； 消法变换：将矩阵中某一行的数量倍数加到另一行。类似地，可以定义矩阵的初等列变换，矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的
4、初等变换。1.1 矩阵初等变换的重要性质命题 1 矩阵的第,类初等变换是独立的。即矩阵的第类初等变换不能由第,类初等变换实现,矩阵的第类初等变换不能由第,类初等变换实现。证明 矩阵的第类初等变换不能由第,类初等变换实现,以 为 n 阶方阵A为例， 1Aikr |1经第,类初等变换(可以为有限次)所得矩阵 ,则 或 , A 1B|A|1B当 , 或 时,显然 ,从而说明第类初等变换不能由第0|1k|1AB,类初等变换实现。 矩阵的第类初等变换不能由第,类初等变换实现,以单位矩阵为例, 由第,类初等变换所得矩阵的某一行定与原矩阵相应的某一行成比例,而( ) 则 的任意一行与原矩阵 的任何一行无比例
5、关系,所以1Ejikr 01 E第类初等变换不能由第,类初等变换实现。西北第二民族学院学士学位论文3命题 2 矩阵的第类初等变换可由矩阵的第,类初等变换实现。证明 以行初等变换为例来说明,设=Amnmjjj inii aaaa 213211 jir mnmiii jnjj aaaa 21211而A jir mnmjjj jnijiji aaaaa 2121 1ijr mnmiii jnijiji aaa 2121 1 jirmnmiii jnjj aa 21211西北第二民族学院学士学位论文4 ir mnmiii jnjj aaaa 21211故矩阵的第类初等变换可由矩阵的第,类初等变换实现。
6、命题 3 对矩阵作行的初等变换不改变矩阵列向量之间的线性关系。证明 设矩阵 经过一次行的初等变换后得到 , 和 的列向量分别记为A1A1和 ,如果 的任何一部分列向量（假设前 个向量, n,21 n,21 1At）满足线性关系式:t 021txx iFi2,即021 nttx亦即=0 nt,11 01tx若设 是初等变换对应的初等矩阵,那麽 可逆且 ,将式两边左乘1E1E1A得 :=0 nt,11 01tx西北第二民族学院学士学位论文5即 ，亦即 ,这00121 nttxx 021txx说明 的部分列向量之间所显示的线性关系即为 对应列向量之间的线性关系，AA一次行的初等变换如此则若干次也一样
7、，从而对矩阵作行的初等变换不改变列向量之间的线性关系。 （同理,矩阵的初等列变换也不改变矩阵行向量之间的线性关系）命题 4 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。证明 设矩阵 经过一次行初等变换后得到 , 和 的列向量别记为A1A1和 ,由命题 3 知矩阵的初等行变换不改变列向量之间n,21 n,21的线性关系,则向量组 和 的极大线性无关组所含向量 n,21的个数相同,从而矩阵 和 有相同的秩。A1命题 5 矩阵的初等变换不改变矩阵的可逆性证明：由命题 4 知矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,从而矩阵的初等变换不改变矩阵的可逆性。1.2 矩阵的初等变换与初等矩阵阶单位矩阵经过一次初等变换而得到的矩阵称为
8、 阶初等矩阵,也即以下n n3 种形式：= ),(jiE1011西北第二民族学院学士学位论文6=)(kiE11 k=)(,kjiE11 k矩阵的初等变换之所以在求矩阵的逆,化二次型的标准型等问题中非常奏效,其理论依据主要来自以下命题:命题 6 设 为 行 列矩阵,对 实行一次初等行变换,其结果等于在 的AmnAA左边乘以相应的 阶初等矩阵; 对 实行一次初等列变换,其结果等于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵。证明 以第类初等行变换为例,用 阶初等矩阵 左乘矩阵m),(jiE得 :nmijaA)(=AjiE),( 1011 mnmjjj inii aaaa 23211西北第二民族学院学士学位论文
9、7= mnmiii jnjj aaaa 21211其结果相当于把 的第 行与第 行互换。Aij这样就在矩阵的初等变换与矩阵的乘法之间建立了联系,即对 做一次初等A变换就相当于给 左乘或右乘一个初等矩阵。1.3 矩阵初等变换的应用 求矩阵的秩由命题 4 知矩阵初等变换不改变矩阵的秩,且任意一个 矩阵均可以经mn过一系列初等行变换化为 级阶梯形矩阵,因此我们要确定一个矩阵的秩,当mn它不是阶梯形矩阵时,可以先利用初等行变换将其化为阶梯形矩阵,然后由阶梯形矩阵的秩确定原矩阵的秩。例 1 讨论 阶方阵 的秩nAab (2)n解：对矩阵 做初等行变换化为阶梯形矩阵:A= ab 初 等 行 变 换 abn
10、a )1()( 初 等 行 变 换 babn 0)1(西北第二民族学院学士学位论文8当 时， ;bnab)1(,nrakA当 时， ;1当 时， ;)(, rk当 时， .bnab10anA如果我们要求向量组的秩,可把每一个向量作为矩阵的一个列从而转化为求矩阵的秩。 求可逆矩阵的逆矩阵若 是 阶可逆矩阵,将 与 ( 阶)并排放在一起,组成一个 矩阵 (AnAEnn2),因为 ( )=( ),所以对矩阵( )做一系列的初等行变换, 将E11A其左半部分化为单位阵 时,其右半部分就是 。即 1( ) ( )AE 初 等 行 变 换 E同理,也可通过初等列变换得到：1初 等 列 变 换例 2 设 =
11、 ,求 。A14251A解：由题意知， 初等行变换法( )=AE101425 初 等 行 变 换 132106于是西北第二民族学院学士学位论文9=1A1326 初等列变换法 132610101425EA初 等 列 变 换于是=1A1326由此可见,初等行变换法和初等列变换法殊途同归。这个方法和以前通过伴随矩阵求逆矩阵的方法相比较,当阶数较大时计算量要小得多。另外,用初等变换求逆矩阵时不必先考虑逆矩阵是否存在,在进行初等变换的过程中如果发现矩阵不是满秩的,它就没有逆矩阵。 解矩阵方程求可逆矩阵的逆矩阵,也可以理解为求矩阵方程 的解,显见唯一解是:BAX,而 ( )=( )。上式表明施行若干次初等
12、行变换将可逆矩BAX11EBA1阵 化为单位阵时,同样的初等行变换施行于 就得到 ,即:1( ) ( ) 初 等 行 变 换 EBA这是求解矩阵方程 较为简便的方法。BAX西北第二民族学院学士学位论文10例 3.1 求解矩阵方程 ,其中 = ， =BAX1203B32014解：由题意知，( )=AB3211042 初 等 行 变 换 912068因此 = =X196283当 为 阶方阵且 为 维向量时,矩阵方程即为线性方程组 ,因此AnBn bAX此法也适用于求解线性方程组。同样当 可逆时,求矩阵方程 的唯一解AB,也可用初等列变换较为简便地求得：1BXB 初 等 列 变 换 1BE于是当 和
13、 均可逆时,可用初等行(列)变换求矩阵方程 的唯一A CAXB解 ,即:CBX1( ) ( )AC 初 等 行 变 换 E1B1 初 等 列 变 换 1CBA例 3.2 试用初等变换求解矩阵方程 ,其中X232791,10453A解: 因为 ,故 和 可逆,先计算0|,|B( )=AC 120313241初 等 行 变 换故西北第二民族学院学士学位论文1112031CA再计算 25147690120354971初 等 列 变 换CAB故 1965274CB-X=A 求一个向量组的极大线性无关组,并用该极大线形无关组表示其余向量若 为 矩阵,其中 （ ）为其列向量,对 施行初等行变Anmin2,1A换化为行简化阶梯形矩阵 （所谓行简化阶梯形矩阵是指阶梯形矩阵满足：每B一个非零行的第一个不为零的元素是 1 其余元素都为零）其中（ ）为其列向量。由命题 3 知矩阵的初等行变换不改变矩阵列向in,21量之间的线性关系,故若 , , ( )为矩阵 的列向量组的极大线性12rnB无关组则矩阵 中相应的列向量 , , 即为 的列向量组的极大线性无A12rA关组。例 4
