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1、- 1 -近世代数试卷（时间 120 分钟）题号 一 二 三 四 总分得分得 分 评卷人 复查人二、判断题（ 对 打 “ ”， 错 打 “”， 每 小 题 2 分 ， 共 20 分 ）1. （ ）循环群的子群是循环子群。2. （ ）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。3. （ ）存在一个 4 阶的非交换群。4. （ ）素数阶的有限群 G 的任一子群都是 G 的不变子群。5. （ ）无零因子环的特征不可能是 2001。6. （ ）无零因子环的同态象无零因子。7. （ ）模 97 的剩余类环 Z97 是域。8. （ ）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。9. （ ）域是唯一分解整环。10.
2、 （ ）整除关系是整环 R 的元素间的一个等价关系。得 分 评卷人 复查人一、填空题（共 20 分，第 1、4、6 小题各 4 分，其余每空 2 分）1. 设 A、B 是集合，| A |3，| B |2，则共可定义 个从 A 到 B 的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。2. 设群 G 是 24 阶群，G 中元素 a 的阶是 6，则元素 a2 的阶为 ，子群 H=的在 G 中的指数是 。3. 设 G是 10 阶循环群，则 G 的非平凡子群的个数是 。4. 在模 12 的剩余环 R=0, 1, , 11中， 510 ， 510 ，方程 x21的所有根为 。5. 环 Z6 的全部零因子是
3、 。6. 整环 Z-3 不是唯一分解整环，因为它的元素 在 Z-3 中有两种本质不同的分解 = 。姓 名：_专业： 班级： 学号：_-密-封-线-J- 2 -得 分 评卷人 复查人三、解答题（ 共 3 分）1. 设 S3 是 3 次对称群，a=（123）S 3（） 写出 H的所有元素（） 计算 H 的所有左陪集和所有右陪集（） 判断 H 是否是 S3 的不变子群，并说明理由2. 求模 18 的剩余类加群(Z 18,+,0)的所有子群及这些子群的生成元。J- 3 -3. 在整数环 Z 中，求由 200，125 生成的理想 A=（2004，125） 。得 分 评卷人 复查人四、证明题（ 共 30 分）1. 设 G 是一个阶为偶数的有限群，证明（） G 中阶大于 2 的元素的个数一定为偶数；（） G 中阶等于 2 的元素的个数一定为奇数。2. 设 是环（R，+，0，1）到环（ ，+，0 /，1 /）的同态满射。RN=Ker=x|xR 且 （x）=0 /, 证明： 是同构映射当且仅当 N=0。J- 4 -3. 证明：非零整环 R 只有有限个理想当且仅当 R 是域。J
