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1、组合变形杆件的强度计算,第七章,7-1 概 述,构件发生两种或两种以上基本变形的组合,若几种变形所对应的应力（或变形）属于同一数量级。则构件的变形称为组合变形。,组合变形的实例:,在弹性、小变形范围内，几个因素共同作用所产生的结果，就等于各个因素分别作用所引起的结果的总和 叠加原理。,计算组合变形杆件的应力和变形时，材料处在弹性范围内，且在小变形情况下，可将作用在杆上的荷载分解或简化成几组（也可直接求截面各内力分量），使杆在每组荷载（内力）作用下只产生一种基本变形。,然后分别计算每一种基本变形下的应力和变形;,最后,由叠加原理可得到杆在组合变形下的应力和变形。,回顾杆件在基本变形时应力情况：,
2、拉伸和压缩：, = FN / A,应力均匀分布,扭转：,沿半径线性分布,弯曲：,M Mz 沿y 方向线性分布,如果有 M = My作用。应力公式如何？应力又是怎么分布？,常见的组合变形：,斜弯曲(双向弯曲）,拉伸（压缩）与弯曲组合,偏心压缩（拉伸）,弯曲与扭转组合,组合变形的一般情况,为什么没有与剪切组合？,7-2 斜 弯 曲（双向弯曲）,平面弯曲：,对称截面；,非对称截面。,斜弯曲：,1.外力通过弯曲中心（或形心）；,2.外力与杆件的形心主惯性平面不重合也不平行；,3.梁变形后轴线不在形心主惯性平面内。,非对称弯曲,一、内力,二、横截面上的正应力,横截面上任一点的应力计算公式。,+,三、中性
3、轴的位置、最大正应力和强度条件,中性轴上任一点（y0，z0）应满足：, 中性轴方程（过截面形心的直线）,设中性轴与水平对称轴 z 的夹角为，则：,注： 当 IyIz 时，则 。斜弯曲时，中性轴与外力作用线不垂直。, 当Iy = Iz 时，则= 。只发生平面弯曲，而不发生斜弯曲。,对无凸角截面（如椭圆形） ，可按作图法确定最大正应力的点。,对有凸角的截面，最大正应力必出现在角点处。,圆截面如何处理？,强度条件为：,四、变形计算,自由端截面的形心 c 在 xy 平面和 xz 平面内的挠度分别为：,设总挠度与 y 轴成角,注：当Iz Iy时，wc 与F 作用方向不重合，但垂直于中性轴；当Iz = I
4、y时， wc与F 方向重合。,例1 屋架桁条，l=4m,q=4kN/m, h=260mm,b=140mm, = 25o, = 10MPa,校核其强度。,解：,例2 截面为25a号工字钢的悬臂梁，受竖向均布荷载q5kN/m,自由端受水平集中力F2kN作用。已知:E2.06105MPa。试求： （1）梁的最大拉应力和最大压应力； （2）固定端截面和l/2截面上的中性轴位置； （3）自由端的挠度。,解：,（1）固定端A,B两点为危险点。,25a工字钢:Iz5023.54cm4，Wz=401.88cm3, Iy280.046cm4，Wy=48.283cm3。,=107.7MPa,（2）,（3）,25a
5、工字钢:Iz5023.54cm4，Wz=401.88cm3, Iy280.046cm4，Wy=48.283cm3。,=9.57mm,固定端截面:,1 =82.1,l/2截面:,2=86.0,1. 组合变形杆件的应力和变形计算的办法:,2. 斜弯曲（双向弯曲）,对无凸角截面（如椭圆形） ，先写出任一点(y,z)的应力计算公式,然后令其为零,得到中性轴的位置,最后按作图法确定最大正应力的点。,对有凸角的截面，最大正应力必出现在角点处。,对有圆截面:,7-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合,当杆受轴向力F和横向力q共同作用时，杆将产生拉伸（压缩）和弯曲组合变形。,对于弯曲刚度EI较大的杆，由横向力引起的弯
6、曲变形与截面尺寸相比很小，因此，由轴向力在弯曲变形上引起的附加弯矩可以忽略不计。,M=FAx-qx2/2-Fw,可分别计算由轴向力和横向力引起的正应力，由叠加原理进行叠加。,在 F 作用下，= FN / A = F / A,在 q 作用下，= - M（x）y / I z,x 截面上 A（y，z）的正应力为：,=+= F / A - M（x）y / I z,在 F 作用下，= FN / A = F / A,在 q 作用下，= - M（x）y / I z,x 截面上 A（y，z）的正应力为：,=+= F / A - M（x）y / I z,中性轴方程：,F / A - M（x）y0 / I z =
7、0,危险截面为固定端截面。危险点为截面上、下边缘处各点。,强度条件为：,例3 图示托架，F=45kN，AC为22a工字钢， = 170 MPa，试选择工字钢的型号。,解：,1求 AC 所受反力：,FBD = 120 kN，,FAy = 15 kN，,FBy = 60 kN，,FAx = FBx =104 kN,2作 AC 内力图,强度条件:,由弯曲正应力强度条件试算:,22a工字钢:,满足强度要求,7-4 偏心压缩（拉伸）,1、将 F 向 形心 简化,F，,My = F zF ，,Mz = F yF ，,任一横截面上的内力都相同，任一横截面均为危险截面,当杆受到与其轴线平行但不与轴线重合的外力
8、作用时，杆将产生偏心压缩（拉伸）。,2、横截面上的正应力及其分布,任一点的应力都是正应力单向应力状态。,i-惯性半径,3、中性轴位置,中性轴方程,4、强度计算,对于有凸角的截面，最大正应力必出现在角点处。,对于无凸角的截面，最大正应力必出现在离中性轴最远的点。,例 9-4 一端固定并有切槽的杆。试求最大正应力。,解：,梁发生拉伸弯曲组合变形,显然，切槽处的横截面为危险截面。,F 向该截面形心C 处简化：,FN = F =10 kN,Mz = 10103510-2 = 500 Nm,My = 101032.510-2 = 250 Nm,A 点压应力最大。,B 点拉应力最大。,例94 图示钻床，已
9、知：F=15kN,偏心距e=0.4m,容许拉应力t35MPa.求立柱直径d.,FN=F=15kN,M=Fe=6kNm,经试算：,d=122mm,7-5 截面核心,截距ay，az，随压力作用点yF，zF变化。,当压力作用点离截面形心越远，则中性轴离截面形心越近。,当压力作用点离截面形心越近，则中性轴离截面形心越远。,中性轴截距:,随着压力作用点位置的变化，中性轴可能在截面以内（穿过截面）、或与截面周边相切、或在截面以外。后两种情况下，横截面上就只产生压应力。,在截面形心附近可以找到一个区域，当偏心压力作用在该区域内时，杆横截面上只产生一种性质的应力（压应力），这个区域称为截面核心。,O,1,注：
10、截面周边可以是凸的、凹的、空心的。但截面核心的形状一定是突的、实心的。,常见截面的截面核心：,例4、求图示矩形截面的截面核心.,截面的对称轴 y、z 就是形心主轴。,以AB为中性轴，在y、z 轴上的截距分别为：,同理，求得中性轴与BC重合时，,中性轴与CD重合时，,中性轴与DA重合时，, B点是中性轴、的公共点，过B点可作无数多条中性轴，将B点的坐标代入中性轴方程中：, 外力作用点由1沿截面核心边界移到2点时，（yF，zF）应满足以上方程，显然这是一个直线方程。,1,2,同理，2、3、4 点之间均由直线连接，其对角线长度分别为h / 3 和 b / 3。,当轴向力作用在矩形截面对称轴上，且在“
11、中三分点”以内时，截面上只产生一种应力状态。如混凝土的抗压性能比抗拉性能好得多，因此以上结论得到广泛应用。,例5、求图示圆形截面的截面核心.,圆形截面关于圆心对称，所以截面核心的边界也是一个圆，因此只需定核心边界的一个点。,作 A 点的切线作为中性轴，它在y、z 轴上的截距为：,得圆截面的核心是直径为 d / 4 的圆。,大致画出图示截面的截面核心的形状,7-6 弯曲与扭转的组合,例6 一钢质圆轴，直径 d = 8 cm，其上装有直径 D = 1 m、重为 5 kN 的两个皮带轮。已知 A 轮上皮带拉力为水平方向，C 处轮上的皮带拉力为竖直方向。设钢的 = 170 MPa ，试按第三强度理论校
12、核该轴的强度。,解：将轮上拉力及自重向轮上简化。如图（b）,1作内力图：（c）、（d）、（e）,2由内力图可见：B、C两截面为危险截面。,（b）,危险点在何处？,tan=Mz/My, 7-7 组合变形的一般情况,Fx轴向力（拉或压） Fy、 Fz剪力（忽略不计）,Mx扭矩 My、 Mz弯矩（圆截面：My,Mz合成为M）,例 7 图示圆杆，已知F1=200kN,F2=5kN,F3=5kN,T=8kNm,l=1m,d=100mm,材料的容许应力=170MPa,试用第四强度理论校核强度。,解：,FN=F1=200kN,Mx=T=8kNm,Mymax=F2.2l=10kNm,Mzmax=F3.l=5kNm,例 图示圆轴，l=1m, 直径 d =100mm, 容许应力 = 160 MPa ，Fx=110kN, Fy1=90kN, Fy2=80kN, 求：1。A、B、C、D四点单元体的应力；2。用第三强度理论校核危险点的强度。,FN=Fx=110kN,Mx=Fy1 d/2=4.5kNm,My=Fx d/2=5.5kNm,Mzmax=(Fy1-Fy2) l=10kNm,解：1。求危险截面的内力：,FN=Fx=110kN,Mx=Fy1 d/2=4.5kNm,My=Fx d/2=5.5kNm,MZmax=(Fy1-Fy2) l=10kNm,2。求各点的应力。,3。危险点的强度,
