《逻辑函数及其化简》ppt课件

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1、第2章 逻辑函数及其化简,数字电子技术基础,主要介绍逻辑代数的基本运算、基本定律和基本运算规则，然后介绍逻辑函数的表示方法及逻辑函数的一般化简方法。 逻辑代数称为布尔代数， 开关代数。 逻辑代数是用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。 逻辑函数式中逻辑变量的取值和逻辑函数值只有“1”和“0”。 这两个值表示客观事物的两种相反的状态。 开关的闭合与断开、 灯的亮与灭、 电位的高与低、 事件的真与假等。 描述电路的工作状态，1表示高电平，0表示低电平。 “1”和“0”的物理意义是随着所研究的对象的不同而变化的。,2.1 逻辑代数的运算,数字系统中的逻辑函数关系是指输入变量取任意一组确定的值

2、，输出变量也有唯一确定的值与其对应。 设输入变量为x1，x2，x3，xn，输出变量为Y，则描述输出变量和输入变量的逻辑函数可表示为 逻辑函数表达式和逻辑变量之间的关系是由基本的逻辑运算决定的。,2.1.1 逻辑代数的基本运算,逻辑代数的基本运算有三种：与（AND）、或（OR）和非（NOT）运算 1与逻辑 一个事件受到若干条件影响，如果决定事件的所有条件具备，其事件才会发生，有一个条件不具备，事件也不会发生，这样的逻辑关系称为“与”逻辑，也叫逻辑乘。 开关A、B闭合为1、断开为0、灯Y亮为1、灯灭为0。开关与灯之间的对应关系称为与逻辑。 与逻辑的运算规律为00 = 0， 01 = 0， 10 =

3、 0， 11 = 1。 与逻辑真值表,Y = AB,与逻辑的表达式,2或逻辑 一个事件受到若干条件影响，如果有一个条件或几个条件具备时，这一事件就会发生，只有所有条件都不具备时，事件才不会发生，这样的逻辑关系称为“或”逻辑，也叫逻辑加。 开关A或开关B中有一个闭合，或者两个开关都闭合时，灯会亮。 只有开关A、B都断开时，灯Y才熄灭。 或逻辑的运算规律为0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1 “+”号表示逻辑加，或运算。 或逻辑的表达式 或逻辑真值表,3非逻辑 决定某一事件的唯一条件，这个条件具备时，这一事件不会发生，而当这个条件不具备时，这个事件反而能够发生，这样的因果关系称为“非”逻

4、辑。 开关A闭合时，灯灭；开关A断开时，灯亮。这种逻辑关系为“非”逻辑 非逻辑的表达式 读做A非。A与Y互为反变量。在逻辑运算中，非运算优先级最高，其次是与运算、或运算。 非逻辑的运算规律为 非逻辑真值表,与、或、非逻辑门的两种通用逻辑符号 国际通用的特异形符号 国内通用的矩形符号。,非门是只有一个输入端的逻辑门，称为“反相器”。,（1）逻辑表达式 与逻辑的表达式 Y = AB “ ”表示逻辑乘，“ ”可以省略，写为Y = AB 多变量的逻辑乘Y = ABC，或Y = ABC。 （2）逻辑真值表 真值表（truth table）是逻辑函数的一种完全描述方式。输入变量全部取值组合与对应的输出函数

5、值排成表。n个变量的逻辑函数共有2n个不同的变量取值组合。 表示逻辑函数与逻辑变量各种取值之间的一一对应关系。 两个逻辑函数的真值表相同，两个逻辑函数必然相等。 （3）逻辑图 逻辑图是用逻辑门的逻辑符号连接成的，用来表示相应逻辑电路的功能。 （4）逻辑波形图 逻辑波形图（waveform）是输入变量的取值与输出值对应的逻辑关系，按时间顺序一一对应排列的图形，也称为时序图。 与逻辑的波形图,2.1.2 逻辑代数的复合运算,与、或、非是三种基本的逻辑运算。 将与、或、非组合实现复合逻辑运算。 （1）与非运算（NAND） 与非的运算顺序为，先“与”后“非”。 逻辑表达式为 （2）或非运算（NOR）

6、或非的运算顺序为，先“或”后“非”。 逻辑表达式为 与非和或非逻辑都可以有多个输入变量的情况,（3）与或非运算（AND-NOR） 与或非的运算顺序为，先“与”后“或”再取“非”。 逻辑表达式为,与或非真值表,（4）异或运算 异或运算是二变量逻辑运算。 逻辑表达式为,异或运算的逻辑关系为： 当输入A、B相异时，输出Y为1， 当输入A、B相同时，输出Y为0。 异或逻辑真值表,同或逻辑真值表,（5）同或运算 同或运算也是二变量逻辑运算。 逻辑表达式为 Y=AB 同或运算的逻辑关系为： 当输入A、B相同时，输出Y为1，当输入A、B相异时，输出Y为0。 同或逻辑为异或逻辑的非运算。 AB= 可以证明异或

7、逻辑和同或逻辑的以下等式成立,（6）复合逻辑的图形符号,符号图中的小圈表示取非的含义。,2.2 逻辑代数的基本定律及规则 2.2.1 逻辑代数运算的基本定律 根据与、或、非三种基本运算可以推导出逻辑代数的基本公式和定律 表2.10 逻辑代数的基本定律和公式,0-1律给出变量和常量间的运算规则； 重叠律给出同一变量的运算结果仍为该变量； 互补律是一个变量和其反变量的运算规律； 交换律和结合律表示逻辑运算的先后次序变化，对运算结果没有影响；,【例2.1】 用真值表证明分配律 成立。 解：将A、B、C的所有取值组合与等式两边的对应关系列出真值表。,对应ABC的各个不同组合，等式两边的真值表相同，分配

8、律等式成立。,2.2.1 逻辑代数运算的基本定律 表2.10 逻辑代数的基本定律和公式,还原律表明一个变量（逻辑函数）两次求反运算，仍还原为该变量。,【例2.2】 证明公式 解：根据分配律可以证明 结果表明，变量A项可以消去其他乘积项的 因子。,【例2.3】 用真值表证明反演律 反演律的真值表,【例2.4】 证明公式,解： 左边,由分别包含A和 两个乘积项中的 其余因子构成的乘积项， 是多余的乘积项，可以消去。,因为BC项是多余项，所以包含BC的乘积项都可以被吸收。,当两个包含互补因子的乘积项相加时，若它们的其他因子相同， 则两项可以合并，消去互补因子。,解：,【例2.5】 证明公式,推论：,

9、【例2.6】 证明等式 成立。 解：右边 右边右边等于左边，证明等式成立。,2.2.2 逻辑代数运算的基本规则,1代入规则 在任何一个逻辑等式中，若将等式两边所出现的同一变量以另一逻辑函数式代替，则等式仍然成立，这一规则称为代入规则。 逻辑函数和逻辑变量一样，只有0和1两种可能的取值，因而将等式中所有出现同一变量的地方均以同一函数代替，等式仍将成立。 【例2.7】 证明公式 解：利用摩根定律 用函数式 代替等式两边的变量X、Y得 左边 右边 所以等式 成立,2反演规则 对于任何一个逻辑函数式Y，如果将其中所有的“ ”换成“+”，“+”换成“”；“0”换成“1”，“1”换成“0”；原变量换成反变

10、量，反变量换成原变量；则得到逻辑函数Y的反函数。这个规则称为反演规则。 利用反演规则，可以求出一个函数的反函数。注意： （1）求反函数时要保持原函数中逻辑运算的优先顺序不变。与运算优先于或运算，“与”变为“或”时加括号。 （2）可以将多个与项和或项共有的非号保留不变，将非号下面的函数式按反演规则进行变换。 【例2.8】 求函数 的反函数 解： 【例2.9】求函数 的反函数 解：利用反演规则可得 反演律是反演规则的一个特例，应用反演律也可以求得反函数。,3对偶规则 对于任何一个逻辑函数Y，若将式中的“”换成“+”，“+”换成“”；“0”换成“1”,“1”换成“0”；则得到逻辑函数Y的对偶函数。这

11、一规则称为对偶规则。 可以证明两个逻辑函数式如果相等，则其对偶式也相等。 【例2.10】 对A(B+C) = AB+AC等式两边求对偶，证明其对偶式也相等。 解：对等式两边求对偶A+BC=(A+B)(A+C) 得到分配律的公式 【例2.11】 求函数 的对偶式。 解： 对逻辑函数Y两次求对偶，得到的是原函数Y。进行对偶式变换时要保持原式中运算的优先顺序。,2.3 逻辑函数的化简,常用逻辑函数的化简方法有公式化简法、卡诺图化简法和编写计算机辅助分析程序的Q-M法等。 2.3.1 逻辑函数的表示方法 1逻辑函数的标准形式 逻辑函数的基本形式：与-或表达式（积之和表达式） 或-与表达式（和之积表达式

12、）。 （1）最小项表达式 标准与或表达式称为最小项表达式。 在n变量的逻辑函数式中，每一个乘积项因子个数是n，乘积项中的每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，仅出现一次，该乘积项称为最小项。 A、B、C三变量的最小项是 3个变量可以构成23个不同的最小项；n个变量可以构成2n个不同的最小项。 用mi表示最小项。如果将乘积项中的原变量记为1，反变量记为0，代入乘积项可得一个二进制数。 的取值为011。与二进制数相对应的十进制数就是该最小项的编号m3。 例如 = m2+m6+m7 简写成最小项之和： 每一个最小项只有一组变量取值使其为1，其余变量的取值组合都使其为0。使 为1的变量取值为010

13、。,（2）最小项的性质 最小项的性质： 对于n个变量的任意一组取值组合，每个最小项都有一个取值组合使其值为1，其余取值组合均使该最小项为0。 任意两个不同最小项的乘积为0。 n个变量的所有最小项之和为1。 相邻的两个最小项合并成一项，消去一对不同的因子。只有一个因子不同的最小项具有相邻性。 任何一个逻辑函数Y都可以表示为最小项之和的形式。,三变量最小项的编号表,【例2.12】 将逻辑函数表达式 转换成最小项表达式。 解：可以利用公式 将与或表达式中的与项扩展成最小项。 【例2.13】 将逻辑函数表达式 变换成最小项表达式。 解： 将逻辑表达式变换成与或表达式 采用配项法 ，将与或表达式中的与项

14、扩展成最小项。,（3）最大项表达式 标准或与表达式称为最大项表达式，在n变量的逻辑函数式中，每一个和项的因子个数是n，和项中的每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，仅出现一次。每个和项都是最大项。 用Mj表示最大项。将和项的原变量记为0，反变量记为1，可以得到最大项的编号。 A、B、C三变量的最大项 （A+B+C），可见3个变量可以构成23个不同的最大项；n个变量可以构成2n个不同的最大项。,每一个最大项只有一组变量取值使其为0，其余变量的取值组合都使其为1。使 为0的变量取值为101。 同一逻辑函数，最小项的编号和最大项的编号是互补的，同函数的最小项编号与最大项编号不相同。,三变量最大项

15、的编号表,2逻辑函数形式的变换,逻辑函数描述方法有逻辑函数表达式、真值表、卡诺图、逻辑图和波形图等。不同表示形式之间可以互相转换。 （1）由真值表写出与或表达式 【例2.14】 已知逻辑真值表，写出逻辑函数表达式。 解：函数值为1的输入组合，写为乘积项，变量0写反变量，1写原变量。例如001写为 。4个乘积项逻辑加，逻辑表达式,（2）由与或表达式写出真值表 【例2.15】 写出逻辑函数式 的真值表。 解：逻辑函数式有3个输入变量，列出3变量逻辑函数的真值表。将逻辑函数式Y包含的所有最小项，均填入函数值为1，其余最小项的函数值为0。,（3）逻辑函数形式的变换 需要将逻辑表达式变换为适应硬件电路的形式。 与非-与非形式 将与或表达式两次求反函数。 例 或非-或非形式 写逻辑函数Y的最小项表