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1、,第六章 数理统计的基本概念与抽样分布,概率论：随机变量的概率分布,数理统计：分析带有随机影响数据,理 论 基 础,数理统计的基本概念,6.1,基本概念:,总体：研究的问题所涉及的对象的全体,个体：总体中的每个成员,样本：从总体中抽取部分个体,样本容量：样本所包含的个体数量,总体与样本,样本观测值：,样本的二重性,数的属性,随机变量的属性,设X1,X2, ,Xn为总体X的一个容量为n的样本。若它满足 独立性，即X1,X2, ,Xn 相互独立； 同分布性，即每个Xi都与总体X服从相同的分布. 则称这样的样本为简单随机样本，简称为样本。,若X1,X2, ,Xn是来自总体X的样本，设X的分布函数为F
2、(x)，则样本X1,X2, ,Xn的联合分布函数为,定理,例1.若X1,X2, ,Xn是来自总体X的样本，设 X的分布函数为F(x)，则样本 X1,X2, ,Xn的联合分布函数为,设是总体X的样本，g(X1,X2, ,Xn)是样本的实值函数，且不包含任何未知参数，则称g(X1,X2, ,Xn)为统计量。,统计量,例2.若X1,X2, X3是来自总体XN(, 2)的 其中参数未知， 2已知，则,都不是统计量,都是统计量,样本均值,常用统计量,样本方差,样本均方差或样本标准差S,常用统计量,样本k阶(原点)矩,样本k阶中心矩,设X1,X2, ,Xn是取自总体X的样本，记x1,x2, ,xn是样本的
3、任一观测值，将它们按由小到大的顺序重新排列为x(1) x(2) x(n) 。若X(k)= x(k) ，则称X(1),X(2), ,X(n)为样本X1,X2, ,Xn的顺序统计量。,常用统计量,第k个顺序统计量X(k),最小顺序统计量X(1),最大顺序统计量X(n),极差R=X(n) -X(1),中位数,例3.设容量n=10的样本的观察值为8,7,6,5, 9,8,7,5,9,6 ，求样本的均值、方差、 最小值、最大值、中位数。,设X1,X2, ,Xn是取自总体X的样本，对应的次序统计量为X(1) X(2) X(n) ，当给定次序统计量的观测值x(1) x(2) x(n)时,对任意实数x，称函数
4、,经验分布函数,为总体X的经验分布函数。,例4.从总体X中抽取容量为8的样本，其观测值为 33，45，25，33，35，65，30，27。 试求X的经验分布函数。,解：将样本观测值由小到大排序得 25273033=33354565 则由定义得经验分布函数为,抽样分布,6.2,常用的抽样分布,2分布,t 分布,F分布,2分布,定义：设X1,X2, ,Xn独立同分布, 都服从N(0,1), 则称统计量,所服从的分布是自由度为 n 的2分布.记为22(n),2分布的概率密度函数图形,2分布的性质,性质1(可加性) Y1 2(m)， Y2 2(n)，Y1与Y2独立， 则Y1 +Y2 2(m+n),性质
5、2(数字特征) 若2 2(n)，则 E(2)=n，D(2)=2n,例1. 设X1,X2, ,Xn是来自正态总体 XN(,2)的样本，求随机变量 Y=(X1- )2+ (X2- )2+ (Xn- )2/2 的概率分布。,解:X1,X2,Xn相互独立且都服从N(,2), 令Yi=(Xi- )/,则Y1,Y2, ,Yn相互独立且Yi N(0,1) ，,由定义知Y= Y12+Y22+Yn2 2(n),t分布,定义: 设XN(0,1) , Y2(n), 且X与Y相互独立，则称随机变量,服从自由度为 n的 t 分布.记为Tt(n).,t分布的概率密度函数图形,例2.设X1,X2, ,Xn是来自正态总体N(
6、0,4) 的样本，试问统计量,服从什么分布？,解:,F分布,定义：设X 2(m)， Y 2(n)， X与Y相互独立，则称随机变量,所服从的分布是自由度为(m,n)的F分布.记为FF(m,n),F分布的概率密度函数图形,F分布的性质,性质1 若XF(m,n)， 则1/XF(n,m),性质2 若X t(n)，则X2F(1,n),例3.设X1,X2, ,Xn是来自正态总体N(0,1) 的样本，试问统计量,服从什么分布？,解:,概率分布的分位点1,设随机变量X的分布函数为F(x)，为给定的常数，且0 1. 若存在x，使,则称x为随机变量X关于的上侧分位点.,概率分布的分位点2,设随机变量X的分布函数为F(x)，为给定的常数，且0 1. 若存在a,b，使,则称a,b为随机变量X关于的双侧分位点.,常见分布的分位点,标准正态分布,卡方分布,t(n)分布,F(m,n)分布,分位点的性质,(2),(3),(4) 当n较大(n45)时,有,正态总体的抽样分布,定理1：设X1,X2, ,Xn是来自正态总体N(,2) 的样本，则,正态总体的抽样分布,定理2：设X1,X2, ,Xm是来自正态总体N(1,12) 的样本， Y1,Y2, ,Yn是来自正态总体N(2,22) 的样本，且X与Y相互独立，则,正态总体的抽样分布,其中：,正态总体的抽样分布,正态总体的抽样分布,补,补,补,作业,习题六,
