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1、1,第四章,根轨迹法,自动控制理论,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,2,第一节 根轨迹法的基本概念,一、根轨迹的概念 反馈控制系统的性质取决于闭环传递函数。只要求解出闭环系统的特征根，系统响应的变化规律就知道了。但是对于3阶以上的系统求根比较困难。如果系统中有一个可变参数时，求根就更困难了。,3,1948年，伊凡思提出了一种确定系统闭环特征根的图解法根轨迹法。在已知开环零极点分布的基础上，当某些参数变化时，利用该图解法可以非常方便的确定闭环极点。 定义：当系统开环传递函数中某一参数从0时，闭环系统特征根在s 平面上的变化轨迹，就称作系统根轨迹。一般取开环根轨迹增益K0作为可变参数。,4,
2、式中，K为系统的开环比例系数。 K0 = 2K 称为系统的开环根轨迹增益。 系统的闭环传递函数为：,举例说明：已知系统的结构图，分析0 K ，闭环特征根在s平面上的移动路径及其特征。,解：系统的开环传递函数为,一定要写成零极点表达式,5,系统的闭环特征方程为： s2 + 2s + 2K = 0 求得闭环特征根为：,(1) K= 0：s1 = 0,s2 = 2,是根迹的起点(开环极点),用“”表示。,2,1,(2) 0 K 0.5 ：s1 ，s2 均是负实数。 K s1 ，s2 。 s1从坐标原点开始沿负实轴向左移动； s2从（2，j0）点开始沿负实轴向右移动。,(3) K= 0.5： s1 =
3、 s2 = 1，重根。,闭环特征根s1，s2是K函数， 随着K的改变而变化。,(4) K 0.5：,K= 0,K= 0,K=0.5,K,K,6,根据2阶系统根轨迹的特点，可以推得n阶系统，会有如下的结论： （1）n阶系统有n个根，根轨迹有n条分支 ； （2）每条分支的起点 位于开环极点处； （3）各分支的终点或为开环零点处或为无限点； （4）重根点，称为分离点或汇合点。,根轨迹与系统性能 1. 稳定性 当K从0 时，图中的根轨迹不会越过虚轴进入s右半平面，因此二阶系统对所有的K值都是稳定的。,7,2.稳态性能 开环系统在坐标原点有一个极点，系统属于1 型系统，因而根规迹上的K0=2K 值就是静
4、态速度误差系数Kv。如果给定系统对ess 有要求，则对K0有要求，由根迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。,8,3. 动态性能 由图可见，当0 K 0.5时，闭环极点均位于负实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程。,当 K = 0.5时，闭环两个实极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程。 当K 0.5时，闭环极点为一对共轭复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程。,9,二、根轨迹方程 研究下图所示反馈控制系统的一般结构。,系统的闭环传递函数为,该系统的闭环特征方程为: D(s) = 1 + G(s)H(s) = 0 或 G(s)H(s) = -1,若将
5、系统的开环传递函数G(s)H(s)写成如下形式：,一定要写成零极点表达式,10,式中K0为系统的根迹增益， zi 为系统的开环零点，pj为系统的开环极点。上述方程又可写为：,由于满足上式的任何s都是系统的闭环极点，所以当系统的结构参数，如K0在某一范围内连续变化时，由上式制约的s在s平面上描画的轨迹就是系统的根轨迹。因此上式称之为系统的根轨迹方程。,根轨迹的幅值方程：,11,根轨迹的幅角方程：,式中，k=0，1，2，（全部整数）。 （4-6）通常称为180 根轨迹。 根据这两个条件，可完全确定s平面上根轨迹及根轨迹上任一点对应的K0值。幅角条件是确定s平面上根轨迹的充要条件，因此，绘制根轨迹时
6、，只需要使用幅角条件；而当需要确定根轨迹上各点的K0值时，才使用幅值条件。,“-”号，对应负反馈,12,根轨迹的起点和终点 根轨迹的对称性和分支数 实轴上的根轨迹段 根轨迹的渐近线 根轨迹在实轴上的分离点和会合点 根轨迹与虚轴的交点 根轨迹的出射角和入射角 闭环极点的和与积、开环极点闭环极点的关系,第二节 绘制根轨迹的基本规则,13,规则1. 根轨迹的起点和终点,起点：n条根轨迹起始于开环传递函数的n个极点。,终点：m条根轨迹起始于开环零点。,说明：,开始于n个开环极点的n条根轨迹，有m条根轨迹终止于开环零点，有n-m条根轨迹终止于无穷远处。,终止于m个开环零点的m条根轨迹，有n条根轨迹来自n
7、个开环极点，还有m-n条来自无穷远处。,14,规则2对称性和分支数,根轨迹的分支数：,对称性：根轨迹必定对称于实轴。,n阶系统，其闭环特征方程有n个根。当K0 从0连续变化时，n个根将绘出有n条轨迹分支。因此根轨迹的条数或分支数等于其闭环特征根的个数，即系统的阶数。,规则3 实轴上的根轨迹分布 实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。 “奇是偶不是”,15,规则4 根轨迹的渐近线 当开环传递函数中m n 时，将有n m 条根轨迹分支沿着与实轴夹角为a ，交点为a 的一组渐近线趋于无穷远处，且有：,(k = 0,1, , n m 1),16,规则5 根轨迹分
8、离点和会合点 两条或两条以上的根轨迹在s平面上相遇后立即分开的点，称为根轨迹的分离点(会合点)。,17,分离点的性质： 1）分离点是系统闭环重根； 2）由于根轨迹是对称的，所以分离点或位于实轴上，或以共轭形式成对出现在复平面上； 3）实轴上相邻两个开环零（极）点之间（其中之一可为无穷零（极）点）若为根轨迹，则必有一个分离点；,4）在一个开环零点和一个开环极点之间若有根轨迹，该段无分离点或分离点成对出现。,18,确定分离点位置的方法：,式中，z i 、p j 是系统的有限开环零点和开环极点。,分离点上，根轨迹的切线与正实轴的夹角称为根轨迹的分离角，用下式计算： k为分离点处根轨迹的分支数。,法一
9、：重根法（极值法）,法二：公式法,设分离点的坐标为 d，则d 满足如下公式：,牢记！,19,规则6 根轨迹与虚轴交点 若根轨迹与虚轴相交（临界稳定状态），则交点上的坐标（包括闭环极点和临界增益）可按下述两种方法求出： 方法一：在系统的闭环特征方程D(s) = 0中，令s = j，D(j) = 0的解即是交点坐标。 方法二：由劳斯稳定判据求出。,20,例4-2 设某负反馈系统的开环传递函数为,试绘制系统根轨迹。 解（1）起点： p1= 0、p2= 1、p3= 5。 终点：终于无穷远处 （2） 实轴上的根轨迹分布：在(0，1)和(5， )的实轴段上。 （3）分支数：系统的根轨迹有三条分支， （4）
10、渐近线：有三条。 实轴上的交点,21,(5)系统实轴上的根轨迹段（1，0），位于两个开环极点之间，该轨迹段上必然存在根轨迹的分离点。设分离点的坐标为d，则,3d 2 + 12d + 5 = 0 d1 = 0.472 d2 = 3.53(不在根轨迹上，舍去，也可代入幅值方程看Kg0否？) 分离点上根轨迹的分离角为90。,如果方程的阶次高时，可用试探法确定分离点。,d1 = 0.472,三条渐近线与正实轴上间的夹角：,22,j,60,-2,（5）虚轴的交点,方法一： s3 + 6s 2 + 5s + K0 = 0 令s=j，则 (j)3 + 6(j)2 + 5 (j) + K0 = 0,23, 3
11、 + 5 = 0 62 + K0= 0,K0= 0(起点，舍去)， K0= 30,方法二： s3 + 6s 2 + 5s + K0= 0 劳斯表为,s3 1 5 s2 6 K0 s1 (30 K0)/6 s0 K0,当K0=30时，s1行全零，劳斯表第一列不变号，系统存在共轭虚根。共轭虚根可由s2行的辅助方程求出： 6s 2+ K0= 0,(j)3 + 6(j)2 + 5 (j) + K0 = 0,24,j,d = 0.472,K0= 30,K0 ,K0 ,K0 ,j2.24 K0= 30,25,法则7 根轨迹的出射角与入射角 根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴方向的夹角，称为出射角(起始
12、角)，用,根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴方向的夹角，称为入射角(终止角)，用,表示；,求出这些角度可按如下关系,表示。,“加零去余极”,“加极去余零”,26,法则8 闭环极点的和与积 绘制根轨迹，或利用根轨迹进行系统性能分析时，可利用该法则。 若开环传函分母阶次n比分子阶次m高2次或2次以上，即n m 2，则系统闭环极点之和等于其开环极点之和。,27,试绘制出系统的根轨迹。 解：,例4-3 设负反馈系统的开环传递函数为,一定要写成零极点表达式,28,d = 0.59(舍去) d = 3.41,结论：由两个极点和一个有限零点组成的开环系统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当K0从0
13、 时，闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到分离点为半径的一个圆，或圆的一部分。,d,29,试绘制出系统的根轨迹。 解：,例4-4 设负反馈系统的开环传递函数为,起始角与终止角,1,2,3,1,3,2,= 180 + 1 + 2 + 3 1 2 3 =180 + 56.5 + 19 + 59 108.5 37 90 = 79,30,=180 117 90 + 153 + 63.5 + 119 + 121 =149.5,31,试绘制出系统的根轨迹。 解：三个开环极点 p1= 0、p2,3 = 1 j 渐近线： 3条,例4-5 设负反馈系统的开环传递函数为,32,根轨迹与虚轴交点：
14、系统的闭环特征方程为 s3 + 2s2 + 2s + K0= 0 劳斯表,s3 1 2 s2 2 K0 s1 (4 K0)/2 s0 K0,令s1系数为0，得 K0 = 4 代入辅助方程 2s2 + K0= 0,实轴上根轨迹：(，0)，即整个负实轴。,出射角：,33,绘制出系统根轨迹如图所示。,K0 ,K0 ,K0 ,j1.414 K0 = 4,-45,34,试绘制出系统的根轨迹。 解：,例4-6 设负反馈系统的开环传递函数为,渐近线： a = 2 a = 45, 135,分离点： d =2 d =2 j2.45,与虚轴交点： Kg=260 s = j3.16,35,参量根轨迹：在实际中，有时
15、需要研究除开环根轨迹增益以外的其他可变参量（如时间常数、反馈系数、开环零极点等）对系统性能的影响，就需要绘制以其他参量为可变量的根轨迹。这种根轨迹称为广义根轨迹或参量根轨迹。 绘制参量根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的法则完全相同。 只要在绘制参数根轨迹之前，引入等效单位反馈系统和等效传递函数概念，则常规根轨迹的所有绘制法则，均适用于参数根轨迹的绘制。,第三节 参量根轨迹的绘制,36,对闭环特征方程 进行等效变换，将其写为如下形式： 其中， 为除 外，系统任意的变化参数，而 和 为两个与 无关的首一多项式。 可得等效单位反馈系统，其等效开环传递函数为 画出的根轨迹，就是参数 变化时的参数根轨迹。,37,例4-9 已知某负反馈系统的开环传递函数为,试绘制参数a从零变化到正无穷时，闭环系统的根轨迹。 解: 系统的闭环特征方程为 s3 + s2 + 0.25s + 0.25a = 0,于是，等效系统开环传递函数为,把a视为根迹增益，可绘制出a 变化时系
