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1、一、随机变量方差的概念及性质,三、例题讲解,二、重要概率分布的方差,四、小结,4.2 方 差,1. 概念的引入,方差是一个常用来体现随机变量取值分散程度的量，反映了随机变量偏离其中心期望的平均偏离程度。,实例 有两批灯泡,其平均寿命都是 E(X)=1000小时.,一、随机变量方差的概念及性质,2. 方差的定义,注：从随机变量的函数的期望看，随机变量X的方差D(X) 是X的函数 的期望。,方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分散程度的量. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分散程度大, E(X) 的代表性差; 而如果 D(X) 值小, 则表示X 的取值比较集中, 以 E(X) 作为随机变量
2、的代表性好.,3. 方差的意义,离散型随机变量的方差,连续型随机变量的方差,4. 随机变量方差的计算,(1) 利用定义计算,解,例4-16 设 X 的分布律如下,-1 1,0.5 0.5,插讲：连续型随机变量数学期望的定义,例4-17 设随机变量X的概率密度如下，求D(X)。,解：,证明,(2) 利用公式计算,当X为离散型随机变量时,(2) 利用公式计算,当X为连续型随机变量时,例4-18 设随机变量X的期望E(X)=2，方差D(X)=4， 求E(X2)。,解：,例4-19 设随机变量X的概率密度如下，求D(X)。,解：,证明,5. 方差的性质,(4-5) 设 C 是常数, 则有,(4-6)
3、设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有,证明,(4-7) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则,证明,推广,1. 两点分布,则有,二、重要概率分布的期望和方差,2. 二项分布,则有,设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为,例4-20 已知随机变量 ，且,求,解,得,由,3. 泊松分布,则有,所以,例4-21 已知随机变量 ，且,求,解,得,由,则,所以,4. 均匀分布,则有,结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点.,例4-22 已知随机变量 ，且,求 的概率密度函数。,解,得,由,从而,5. 指数分布,则有,6. 正态分布,则有,解,例,三、例题讲解,解,练习,于是,四、小结,1. 方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分散程度的量. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分散程度大, E(X) 的代表性差; 而如果 D(X) 值小, 则表示 X 的取值比较集中, 以 E(X) 作为随机变量的代表性好.,2. 方差的计算公式,3. 方差的性质,
