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1、1,性质1: 若X=C，C为常数，则 Var(X)=0 .,性质2: 若b为常数,随机变量X的方差存在， 则bX的方差存在，且 Var(bX) = b2Var(X),Var (aX + b ) = a2 Var(X),结合性质1与性质2就有,2,若随机变量X1, X2, , Xn 的方差都存在， 则X1+X2+.+Xn的方差存在，且,若随机变量X1, X2, , Xn相互独立，则,性质4:,n2时就有,性质3:,Var(XY)= Var(X) +Var(Y) 2E(X-EX)(Y-EY),若X, Y 独立， Var(XY)= Var(X) +Var(Y),3,注：以后若无特殊说明，都认为随机变
2、量的方差大于0。,性质5:,对任意常数C, Var(X ) E(X C)2 , 等号成立当且仅当C = E(X ).,4,例1. 设X B( n , p)，求Var(X ).,解： 引入随机变量,故,则,由于,5,例2.标准化随机变量,设随机变量 X 的期望E(X )、方差D(X )都存在, 且D(X ) 0, 则称,为 X 的标准化随机变量. 显然，,6,则:,例3. 设X1, X2, , Xn相互独立，有共同的期望 和方差 ，,证明:,7,例4.已知随机变量X1,X2,Xn相互独立，且每个Xi的期望都是0，方差都是1， 令Y= X1+X2+Xn .求 E(Y2).,解：由已知，则有,因此，
3、,8,例5.设随机变量X和Y相互独立，且 XN(1,2), YN(0,1), 试求 Z=2X-Y+3 的期望和方差。,由已知，有E(X)=1, D(X)=2, E(Y)=0, D(Y)=1, 且X和Y独立。因此，,D(Z)= 4D(X)+D(Y) = 8+1=9.,E(Z)= 2E(X) E(Y)+3 = 2+3=5,解:,注：由此可知 ZN（5,9）。,9,思考：为什么？,一般地，,10,C. 两个不等式,定理3.2 (马尔可夫(Markov)不等式)： 对随机变量X 和任意的 0，有,证明: 设为连续型, 密度函数为f(x), 则,11,上式常称为切比雪夫（Chebyshev）不等式,在马
4、尔可夫不等式中取=2, X为X-EX 得,是概率论中的一个基本不等式.,12,例6.已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a，使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。,解：由切比雪夫不等式,令,13,例7. 在每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 利用切比雪夫不等式求：n 需要多么大时，才能使得在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出现的频率在0.74 0.76之间的概率至少为0.90?,解:设X 为n 次试验中事件A 出现的次数，,的最小的n .,则 XB(n, 0.75).,而所求为满足,于是，E(X)=0.75n, Var(Y)=0.75*0.25
5、n=0.1875n。,14,=P(-0.01nX-0.75n 0.01n),= P |X-E(X)| 0.01n,P(0.74n X0.76n ),可改写为,= P |X-E(X)| 0.01n,15,解得,依题意，取,即n 取18750时，可以使得在n次独立重复试验中, 事件A出现的频率在 0.74 0.76之间的概率至少为0.90 .,16,定理3.3 (内积不等式或Cauchy-Schwarz不等式) 设EX2 ， EY2 则有,证明: 注意到对任意的 t , 有,所以g(t)作为 t 的二次多项式, 其判别式0, 即,17,4.4 协方差和相关系数,问题 对于二维随机变量(X ,Y )
6、:,已知联合分布,边缘分布,这说明对于二维随机变量， 除了每个随机变量各自的概率特性以外，相互之间可能还有某种联系. 问题是用一个什么样的数去反映这种联系.,数,反映了随机变量X ,Y 之间的某种关系,18,可以证明协方差矩阵为半正定矩阵,19,若Var (X ) 0, Var (Y ) 0 ,称,为X ,Y 的 相关系数，记为,事实上，,20,利用函数的期望或方差计算协方差,若 ( X ,Y ) 为离散型，,若 ( X ,Y ) 为连续型，,21,求 cov (X ,Y ), XY,解:,22,23,例9. 设 ( X ,Y ) N ( 1, 12,2,22,), 求 XY,解:,24,定理
7、：若 ( X ,Y ) N ( 1, 12, 2, 22, ),则X ,Y 相互独立,X ,Y 不相关,因此，,25,例10.设U(0,2), X =cos , Y =cos( + ), 是给定的常数，求 XY,解:,26,27,协方差的性质,当且仅当,时，等式成立,Cauchy-Schwarz不等式,28,相关系数的性质,Cauchy-Schwarz不等式 的等号成立,即Y 与X 有线性关系的概率等于1， 这种线性关系为,29,X , Y 不相关,注：X与Y不相关仅仅是不线性相关，可以非线性相关。,30,X,Y 相互独立,X,Y 不相关,若 X , Y 服从二维正态分布，,X,Y 相互独立,
8、X,Y 不相关,31,若X , Y 是两个随机变量，用X 的线性函数去 逼近 Y 所产生的均方误差为,当取,使得均方误差最小.,例：最小二乘法的思想,若 则线性逼近无意义。 为什么？,32,例11.设 ( X ,Y ) N ( 1,4; 1,4; 0.5 ), Z = X + Y , 求 XZ,解:,33,例12：设XN(0,4), YP(2), XY =1/2, 求 E(X+Y)2 .,解:,E(X+Y)2 =E(X+Y)2+Var(X+Y),注意到,=EX+EY)2+Var(X)+Var(Y)+2cov(X, Y),把条件代入即得 E(X+Y)2 =,由题设知: EX=0, Var(X)=
9、4, EY=2, Var(Y)=2, XY =1/2, 而,34,设二维随机变量(X,Y), k , l 为非负整数。 mk = E(Xk ) 称为X的k阶原点矩， k = E(X-E(X)k 称为X的k阶中心矩， mkl = E(X k Y l ) 称为X和Y的(k , l )阶混合原点矩， kl = E(X-E(X)k(Y-E(Y)l 称为X和Y的(k,l)阶 混合中心矩. 显然数学期望为1阶原点矩, 方差为2阶中心矩, 而协方差为(1,1 )阶混合中心矩.,35,例13.设X服从N(0,1)分布，求 E(X3),E(X4)。,解：X的密度函数为：,注：此例是128页4.17的特例。,36,作业:,128页: 4.12; 4.16(2); 4.26; 4.28。,
