《概率统计和随机过程课件§4.3二维随机变量函数的分布》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率统计和随机过程课件§4.3二维随机变量函数的分布（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,问题：已知二维随机变量( X ,Y )的密度函数， g(x,y)为已知的二元函数，Z = g( X ,Y ),求：Z 的密度函数,方法： 从求Z 的分布函数出发，将Z 的分布函数 转化为( X ,Y )的事件 建立一个新的二维随机变量(Z ,X )或(Z, Y ), 求其边缘分布得Z 的密度函数,3.4 二维随机变量函数的分布,2,正态随机变量的情形,若X ,Y 相互独立,则,则,和的分布：Z = X + Y,3,另一种计算 f Z (z) 的方法:,先构造一个新的二维随机变量(Z ,U ), 它们是 ( X , Y ) 的函数，而Z = aX +bY + c 或（X, Y）的其他函数,求
2、( Z , U ) 的联合密度函数 f ( z, u ),求边缘密度 f Z (z),4,h , s 有连续的偏导数，记,则,已知 ( X ,Y )的联合密度 f XY (x,y),求(Z, U )的联合密度函数 f ZU(z, u) 的方法：,5,利用此种方法也可以求某些其他的函数的密度,例： 商的分布： Z = X / Y,6,例4 已知( X, Y ) 的联合分布函数为,求Z = X / Y 的概率密度函数,解,7,8,但是, 当反函数不唯一时, 或不易求时，仍需用 分布函数法,(3) 平方和的分布： Z = X 2+Y 2,设(X ,Y )的联合密度函数为 f (x,y),则,9,例如
3、，X N(0,1), Y N(0,1), X ,Y 相互独立， Z = X 2+Y 2 , 则,称为自由度为2的 2分布,10,它的概率密度函数为,其中, 称为函数,11,自由度为5的 2分布的密度函数图形,12,自由度分别为1,2,5,8,10的 2分布的密度函数图形,13,(4) 极值分布：即极大值，极小值的分布,对于离散型随机变量的极值分布可直接计算,重点：相互独立的随机变量的极值分布,14,例5 X,Y 相互独立, X ,Y 参数为0.5的0-1分布,求M = maxX ,Y 的概率分布,解,对于连续型随机变量，设 X ,Y, X FX (x), Y FY (y), M = maxX
4、,Y , N = minX ,Y , 求 M ,N 的分布函数.,特别地 X ,Y 相互独立时,16,17,特别地 X ,Y 相互独立时,18,推广至相互独立的 n 个随机变量的情形：,则,19,例6 设系统 L 由相互独立的 n 个元件组成，连 接方式为,串联； 并联； 冷贮备(起初由一个元件工作，其它 n 1 个元件做冷贮备，当工作元件失效时， 贮备的元件逐个地自动替换)； (4) L 为 n 个取 k 个的表决系统 (即 n 个元件 中有 k 个或 k 个以上的元件正常工作时， 系统 L 才正常工作),20,求在以上 4 种组成方式下，系统 L 的寿命 X 的密度函数.,解,21,(1)
5、,22,(2),23,(3),n = 2 时，,24,可以证明，X 1+ X 2 与 X 3 也相互独立，故,25,归纳地可以证明，,26,(4),27,前n-1项和第n项,改变下标 j+1 mj,28,29,第五章 随机变量的数字特征,分布函数能够完整地描述随机变量的统计特 性，但在一些实际问题中，只需知道随机变量的 某些特征，因而不需要求出它的分布函数.,评定某企业的经营能力时，只要知道该企业 人均赢利水平；,例如：,研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的 平均粒数及每粒的平均重量；,检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长 度，又要注意 纤维长度与平均长度的偏离程度， 平均长度越长、偏离程
6、度越小，质量就越好;,30,考察一射手的水平，既要看他的平均环数 是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数 据的波动是否小.,由上面例子看到，与随机变量有关的某些 数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰 地描述随机变量在某些方面的重要特征 , 这些 数字特征在理论和实践上都具有重要意义.,随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写,31,32,5.1 随机变量的数学期望,加 权 平 均,3:3:4 2:3:5 2:2:6,73.7 70.0 66.8,73.2 70.1 67.8,甲 乙 乙,引例1 甲乙两学生参加数学竞赛, 观察其胜负,33,引例2 测量 50 个圆柱形零件直径（见下表）
7、,则这 50 个零件的平均直径为,34,换一个角度看，从这50个零件中任取一个零件， 它的尺寸为随机变量X , 则X 的概率分布为,则这 50 个零件的平均直径为,称之为这 5 个数字的加权平均，数学期望的 概念源于此,35,定义1 设 X 为离散型随机变量，其概率分布为,若无穷级数,绝对收敛，则称其和为随机变量 X 的数学期望 记作 E( X ),36,定义2 设 X 为连续型随机变量, 其密度函数为,若广义积分,绝对收敛，则称此积分为随机变量 X 的数学期望 记作 E( X ),随机变量的数学期望的本质 加 权 平 均， 它是一个数不再是随机变量,37,作 业,习题四 20，24，28，31,
