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1、在很多数学和物理问题中，经常需要求一类特殊和式的极限: 这类特殊极限问题导出了定积分的概念.,数学分析 第九章 定积分,三个典型问题,S (A), 其中,后退 前进 目录 退出,2. 已知质点运动的速度为 求从时刻,3. 已知质量非均匀分布的线状物体的密度函数为,求线状物体的质量 m .,显然,这就是说,在“常值”、“均匀”、“不变”的情,a 到时刻 b,质点运动的路程 s.,情况下，可以用简单的乘法进行计算.,以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题合,中心思想：,“有变化”的情形, 如何来解决这些问题呢？,理地归为一类特殊和式的极限.,把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和，,小曲边梯形
2、面积，可近似地用矩形的面积来替代,而现在遇到的问题是“非常值” 、“不均匀”、,每个,虽然为此会产生误差，,矩形面积之和就越来越接近于曲边梯形面积.,但当分割越来越细的时候,一分为二,一分为四,一分为八,一分为 n,可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边梯形,的面积.,过程呢？,1. 分割：,如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的,这可以分三步进行.,把曲边梯形 A 分成 n 个小曲边梯形,2. 近似:,3. 逼近：,当分割越来越细时, 和式,问题是：,越细？,就会越来越小.,下面依次讨论这两个问题.,不管分割多么细，小曲边梯形终究不是,矩形,S 总有差别.,来表示分割 T 越来越细,的长
3、度不趋于 0 .,就能保证分割越来越细.,因为可能某些,对于另外两个实际问题,也可类似地归结为黎曼和,给定的,的极限.,能够找到,总结以上分析，下面给出定积分定义.,并称 J 为 f 在 a,b上的,及任意,定积分,记作,注1,列极限，也不是函数极限.,注2,中,我们把小曲边梯形近似看作矩形时,因此定积分的极限既不是数,关于定积分定义，应注意以下几点：,f (x)在每个小区间xi1, xi上变化不大,要求 f (x) 有某种程度上的连续性.,显然要求,这相当于,a, b 上的一致连续性, 可证 f (x)在a, b上可积.,下面举例来加深理解用定义求定积分的方法.,解,例1,存在.,以后将知道 f (x) 在a, b 上连续时,利用 f (x) 在,则,此时黎曼和的极限化为,的极限.,为方便起见, 令,于是,这里利用了连续函数的可积性.,可取特殊的分割(等分)和特殊的介点,因为可积, 所以,注3.积分的几何意义:,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,各部分面积的代数和,规定,注4.为了以后讨论方便，,定积分作为和式的极限，它的值只与被积函数和,与积分变量用什么字母表示无关 ,即,积分区间有关 ，,
