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1、内蒙古包头市 2016 年高考数学一模试卷（理科）（解析版）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1已知集合 A=2，1，0， 1，2，3，B=x|x 22x30，则 AB=（）A1， 0 B0，1，2 C 1，0，1 D2，1，02设复数 z 满足 =i，则 z 的虚部为（）A2 B0 C 1 D13为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A简单的随机抽样 B按性别分层抽样C按学段分层抽样 D系统抽样
2、4等比数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 S4=a2+a3+9a1，a 5=32，则 a1=（）A B C2 D25设函数 f（x）= ，若 f（a）1，则 a 的取值范围是（）A B D6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A B32 C D7已知圆心为 C 的圆经过点 A（1，1）和 B（2， 2），且圆心 C 在直线 l：x y+1=0 上，则点 C 与坐标原点的距离为（ ）A B5 C13 D258执行如图所示的程序框图，若输入的 x，y，k 分别为 1，2，3，则输出的 N=（）A B C D9已知 M 是球 O 的直径 CD 上的一点，CM= MD，CD 平面 ，M
3、 为垂足， 截球 O所得截面的面积为 ，则球 O 的表面积为（）A3 B9 C D10已知双曲线 =1（a 0，b0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，点 P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率 e 的最大值为（）A B C D11如图，已知 AB 是圆 O 的直径，AB=2，点 C 在直径 AB 的延长线上，BC=1，点 P 是圆 O 上半圆上的动点，以 PC 为边作等边三角形 PCD，且点 D 与圆心分别在 PC 的两侧，记POB=x，将OPC 和 PCD 的面积之和表示成 x 的函数 f（x），则 y=f（x）取最大值时 x 的值为（）A B C D12定
4、义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x4）=f（x）且在0，2上为增函数，若方程f（x）=m（m0）在区间 8，8上有四个不同的根 x1， x2，x 3，x 4，则 x1+x2+x3+x4 的值为（）A8 B8 C0 D4二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13设 ， 是夹角为 60的两个单位向量，若 = + 与 =2 3 垂直，则 = 14若 ，则目标函数 z=x+2y 的取值范围是15已知（1+ax）（1+x） 5 的展开式中 x3 的系数为 5，则 a=16已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 1=1，a n0，a nan+1=4Sn1，则 a10=三、解答
5、题（共 5 小题，满分 60 分）17已知 a，b，c 分别为ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，a=2 且（2+b）（sinAsinB）=（c b）sinC（1）求角 A 的大小；（2）求ABC 的面积的最大值18随机观测生产某种们零件的某工厂 20 名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，48，37，25，45，43，31，49，34，33，43，38，32，46，39，36根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组 频数 频率25，30 2 0.10（30，35 4 0.20（35，40 5 0.25（40，45 m fm（45，50 n fn（
6、1）确定样本频率分布表中 m，n，f m 和 fn 的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取 3 人，至少有 1 人的日加工零件数落在区间（30，35的概率19如图，在底面是直角梯形的四棱锥 SABCD 中，ABC=DAB=90 ，SA 平面ABCD，SA=AB=BC=2 ，AD=1，M 为 SB 的中点，过点 M、A、D 的截面 MADN 交 SC 于点 N（1）在图中作出截面 MADN，判断其形状并说明理由；（2）求直线 CD 与平面 MADN 所成角的正弦值20在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： =1（ab0）的左、右焦点分
7、别是F1、F 2，过 F2 的直线 x+y =0 交 C 于 A、B 两点，线段 AB 的中点为（ ， ）（1）求 C 的方程；（2）在 C 上是否存在点 P，使 SPAB=S ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由21已知函数 f（x）=alnx+x 2（a 为实常数）（1）若 a=2，求证：函数 f（x）在（1，+）上是增函数；（2）求函数 f（x）在1，e上的最小值及相应的 x 值；（3）若存在 x1，e ，使得 f（x）（a +2）x 成立，求实数 a 的取值范围请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-1：几何证明选讲22如图
8、，直线 AB 经过圆 O 上的点 C，并且 OA=OB，CA=CB，圆 O 交直线 OB 于点E、D，连接 EC，CD若 tanCED= ，O 的半径为 3（1）证明：BC 2=BDBE（2）求 OA 的长选修 4-4：坐标系与参数方程 23（2016 包头一模）已知曲线 C：=2cos ，直线 l： （t 是参数）（1）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；（2）过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 45的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值选修 4-5：不等式选讲24=|x 1|2|x+a|，a0（1）若 a=1 时，求不等式 f（ x）1 的解集；（2）若
9、f（x）的图象与 x 轴围成的三角形面积小于 6，求 a 的取值范围2016 年内蒙古包头市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1已知集合 A=2，1，0， 1，2，3，B=x|x 22x30，则 AB=（）A1， 0 B0，1，2 C 1，0，1 D2，1，0【分析】求出 B 中不等式的解集确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可【解答】解：由 B 中不等式变形得：（ x3）（x+1）0，解得：1x 3，即 B=（1，3），A= 2，1，0，1，2，3，AB=0，1，2，故选：B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定
10、义是解本题的关键2设复数 z 满足 =i，则 z 的虚部为（）A2 B0 C 1 D1【分析】设 z=a+bi，a，bR，根据复数的运算法则，得到 ，解得即可【解答】解：设 z=a+bi，a，bR， =i，1z=i +zi，1a bi=i+aib， ，a=0，b= 1，故选：C【点评】本题考查了复数的运算和复数的概念，属于基础题3为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A简单的随机抽样 B按性别分层抽样C按学段分层抽样 D系
11、统抽样【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理故选：C【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题4等比数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 S4=a2+a3+9a1，a 5=32，则 a1=（）A B C2 D2【分析】利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：设等比数列a n的公比为 q，S 4=a2+a3+9a1
12、，a 5=32，a 4=8a1 即 ， =32，则 a1=2=q故选：C【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5设函数 f（x）= ，若 f（a）1，则 a 的取值范围是（）A B D【分析】根据分段函数的表达式，分别对 a 进行分类讨论即可得到结论【解答】解：若 a1，由 f（a）1 得 l0g2a1，即 a 2，此时 a2，若 a1，则由 f（a）11 得 2a1，则a 0，即 a0，此时 a0综上 a2 或 a0，即 a 的取值范围是，故选：D【点评】本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式，对 x 进行分类讨论是解决本题的关
13、键6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A B32 C D【分析】由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，后底面与下面的侧面垂直【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，后底面与下面的侧面垂直该几何体的体积 V= 424= 故选：D【点评】本题考查了三视图的有关计算、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7已知圆心为 C 的圆经过点 A（1，1）和 B（2， 2），且圆心 C 在直线 l：x y+1=0 上，则点 C 与坐标原点的距离为（ ）A B5 C13 D25【分析】设圆心为 C（a ，b），由圆心为 C 的圆经过点 A（1，1）和 B（2，2），且圆心
14、C 在直线 l：x y+1=0 上，列出方程组，求出 C 点坐标，由此能求出点 C 与坐标原点的距离【解答】解：设圆心为 C（a，b），则 ，解得 a=3，b=2，点 C 与坐标原点的距离为 d= = 故选：A【点评】本题考查点 C 与坐标原点的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质和两点间距离公式的合理运用8执行如图所示的程序框图，若输入的 x，y，k 分别为 1，2，3，则输出的 N=（）A B C D【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 N，x，y，n 的值，当 n=4 时不满足条件 3n，退出循环，输出 N 的值为 【解答】解：模拟执行程序，可得x=1，y=2，k
15、=3 ，n=1满足条件 3n，N= ，x=2 ， y= ，n=2满足条件 3n，N= ，x= ，y= ，n=3满足条件 3n，N= ，x= ，y= ，n=4不满足条件 3n，退出循环，输出 N 的值为 故答案为：B【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的办法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题9已知 M 是球 O 的直径 CD 上的一点，CM= MD，CD 平面 ，M 为垂足， 截球 O所得截面的面积为 ，则球 O 的表面积为（）A3 B9 C D【分析】设球的半径为 R，根据题意知由与球心距离为 R 的平面截球所得的截面圆的面积是 ，我们易求出截面圆的
