规则曲线生成算法的研究

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1、规则曲线生成算法的研究本文由天空乐园考证网整理分享摘要截止目前为止,规则曲线生成算法的研究可谓涉及到了这块研究领域的方方面面，故本文在此研究的基础上对此做一总结,从而方便大家在整体上更好的把握和解这一领域的研究范围和进程。本文主要涉及规则曲线生成算法的方面有:规则曲插补算法，B 样条曲线的快速实时插补算法，CB 样条,T B 样条曲线及其应用,三次均匀 B 样条等算法的一些研究，C-B 样条曲线的广顺逼近算法研究，均匀 T-B样条曲线的研究等。希望通过对此方面知识的学习，让我们了解更多关于规则曲线的知识。关键词：规则曲线插补算法，CB 样条,TB 样条,三次均匀 B 样,算法研究1 规则曲线插

2、补算法基于机器人的应用 13机器人终端执行器在笛卡尔空间中的描述，包括位置描述与姿态描述，因此其插补算法中也包括位置插补与姿态插补。其中，姿态插补一般采取线性方式，即把终端执行器在曲线上的终点和起点的方位差均匀地分配到插补的每一步，算法简单，在此不作讨论。位置插补方式，包括直线插补，圆弧插补，抛物线插补，样条线插补等。本文只研究最基础的直线和圆弧插补算法。插补算法在以上步骤中，占据着举足轻重的地位，是整个机器人轨迹规划控制过程（图 1）的精华所在，因此研究它具有十分重要的意义。1.1 空间直线插补已知空间直线的起点坐标 、终点坐标 和插补次数你 N，则(),AxYZ(),CxYZ(1)()/1

3、/CANyzD=-+对于该直线上的任一点 有1i1(2) iAixiyyzzi=+D*1.2 平面圆弧插补已知标准平面（如 平面、 平面或 平面）上的圆心坐标XY-Z-X-、半径 、圆弧方向（顺时针或逆时针） 、起始角 、圆弧圆心角 ，(),oOxyzRaq以及插补次数 ，求此平面圆弧上的点坐标。以 平面上的圆弧为例，如下图NY-2：圆弧 为顺时针方向，起始角 是指圆弧起始点 与 轴之间的夹角，ACa(),AxYZ与 均为弧度制表示，则aq(3)()sinsinco,coACxRxRyyzzaq=+=+ (4)()/1NqD对于圆弧上任一点 有,iiPxYZ)i(5)(sncoiiRyizaq

4、=+*插补算法独立于机器人结构，直线和圆弧插补是机器人系统中不可缺少的插补算法，对于非直线、非圆弧的轨迹，都可以采用直线、圆弧来逼近，以实现这些轨迹。本文研究了机器人轨迹规划中的空间直线、平面圆弧、空间圆弧等三种规则曲线的插补算法，理论上可使所有插补点均落在要求曲线上，在空间圆弧插补中还采用了矢量算法，避免了插补方向和过象限的判断，算法精简且没有累积误差。这些算法已经编写成计算机语言，结合机器人正逆运动学算法，在本实验室中的一台六自由度机器人的控制中得到实现。本研究成果也可适用于高性能要求的机床数控系统。22 B 样条曲线的快速实时插补算法 17在众多的曲线曲面描述方法中, B 样条曲线曲面由

5、于其具有凸包性、局部修改性等一系列优良特性而在曲线曲面造型领域倍受青睐,但在数控加工领域, 目前很多 CNC 机床只能对直线和圆弧进行直接插补, 还不具备直接进行 B 样条曲线插补的功能。所以, 为了对 B 样条曲线进行插补, 一般采取的措施是先借助外部编程将 B样条曲线离散成为微直线段再进行插补。由于精度和表面质量等要求的限制, 这些微线段一般取得很短, 这样势必增大加工的程序量, 而且对实时插补也极其不利。最近出现了一些关于 B 样条曲线曲面的直接插补算法, 但在算法中一般都需进行繁琐的计算, 需要较长的插补时间, 难以实现 B 样条曲线的快速实时插补。为了改善上述状况, 仔细研究了 B

6、样条曲线曲面直接插补的相关技术, 在分析和吸收别人成果的基础上, 提出了一种简单的三次 B 样条曲线的直接插补算法。该算法不需要通常 B 样条曲线实时插补算法中的繁琐计算, 而采取了一种科学合理的近似算法, 大大缩短了三次 B 样条曲线直接插补的时间, 显著提高了该曲线的实时插补速度。2.1 曲线插补的基本原理当前数控加工系统的插补方法主要分为两大类: 一类为脉冲增量插补, 即行程标量插补； 另一类为数据采样插补, 即时间标量插补。脉冲增量插补是以步进器在每个脉冲时间内的进距作为插补单位进行插补, 此方法主要用于直线和圆弧的插补,而数据采样插补是以刀具在一个采样时间内所走距离进行插补, 该方法

7、可用于较为复杂的曲线的插补。本文主要讨论三次 B 样条曲线的直接插补，考虑到三次 B样条曲线不易用脉冲增量进行插补, 采用了数据采样方法对其进行插补。该方法的原理如下：设 表示一段参数曲线, 表示 上沿该曲线方向的切向量, 由微()Pm()Vm()P分几何可得:()()ddxyzdVikt t=+(6)其中 将 CAD 模型中的静态信息和 CNC 加工系统中需要的动态信息联系/t起来, 但现在的主要问题是怎样求出 的表达式。为此对 式两边取模, 为/dtm()1叙述方便, 假设沿参数的正向插补实际上沿参数反向插补时原理相同, 于是可得:()()()dPVtt= ()7即3()VdPtm= ()

8、8这时用采样时间对此微分方程进行离散得：()()121|iiiVtEtdPm-=+D+()9其中 为采样时间，为了保证精度和表面质量， 取得很小，这样就可以tDt略去 式中 的高次项，即得：()4()11|iiiVtdPm-=+D()10(5) 式中 表示刀具在曲线上 处对应的速度，此值可通过合理选取()1ii-得到，于是剩下就是 的计算，根据微分几何可得：1()idm-=11222iiPxdyzdm- =+()1目前，有关 B 样条曲线的插补算法中大都把 B 样条的具体表达式带入 式求6解，由于 B 样条曲线的具体表达式较为复杂，这样不可避免地造成了繁琐的计算，增加了插补计算量，不利于实时插

9、补的实现。考虑到由于插补过程中采样时间取得很短,这样每个采样时间内的 的变化量也很小，故将 式的微分变为差分，tD()6即1 1122222 |i ii xyzdPxdyzmmm- - = = D+()2且 取上一个采样周期内已经得到的值, 这样就避免了繁琐的求解微,xyzD分方程, 大大减少了插补中的计算量。2.2 三次 B 样条曲线的实时插补三次 B 样条曲线的实时插补的步骤为：4计算 (13)()1()00|VtdPm=D+D(14)()210m=判断 的区间，将 带入与之区间相应的系数计算式，计算 31 ()()11,xyzm， 并求出 ()()010100,xxyyzmD=-D=-D

10、=-(15)计算 ，用之近似代替 ，并代入 式求出()4122xyz+1dPm=()51以 代替 重复 ， 直到插补结束为止。5im1(,)in-=()4:从以上实时插补过程可以看出，三次 B 样条曲线实时插补方法在计算中采用了近似方法，减少了插补计算时间，提高了插补速度。现在的问题是此方法是否可靠？我们认为这种方法完全可靠。其一，在采样插补中，为了保证精度和表面质量，采样时间一般取得很小，这样采用差分代替微分误差自然很小，实际上在此方法中用差分代替微分就是用曲线的弦方向代替切线方向。根据微分几何，在具有一阶导数连续的曲线中，当弦趋近零时, 弦的方向即为切线方向。其二，从该方法可以看出, 由该

11、近似方法产生的插值点仍位于曲线上，所以该方法产生的误差不具有累积效应。因此本文提出的三次 B 样条曲线实时插补方法的近似算法具有坚实的理论基础，能够满足数控加工的精度要求。另外，尽管本文讨论的是三次 B 样条曲线的实时插补，其实该方法对于任何一阶导数连续的曲线皆具有实用意义。3 T-B 样条曲线及其应用 3在飞机外形设计与机械零件加工中经常遇到许多有二次曲线弧和二次曲面片表示的形状，如圆弧、椭圆弧、圆柱面、圆锥面、椭球面等，这些曲线曲面在设计中需要有明确的表现形式，在制造上又要求有较高的精确度。B 样条方法在表示与设计曲线曲面形状时显示了强大的威力，然而在表示与设计这些由二次曲面与平面构成的初

12、等曲面时却无能为力，只能给出近似表示，这就存在了设计误差问题，从而带来了问题的复杂化；现在流行的 NURBS 方法较好地解决了上述问题，然而其权因子与参数化问题至今仍没有完全解决。3.1 T-B 样条曲线定义 给定 个控制顶点 可以生成 个曲线段连成一条曲线，1n+,12,.iiinq+2-其中第 个曲线段定义为： ()2i-5()()n j0p itqi jB,n t,0, i0, 12.,p=+=（16）其中 为控制顶点。 qij+当 时，n2=（17()()01/20/ pit i jB,2 t sintco1,02/j qitip= =-+-）当 时， n3(18)()()3 10 2

13、33401 pit qi jB,3 t sintco s2t ,021ij iqtp+= -+=-当 时, n4()()14 20 34401 pit qi jB,4 t sintco s2t0,21ij iqtp+= +-+=-(19) 如下图：63.2 椭(圆)弧的 T-B 样条曲线精确表示当 时，令 有2n=()()()0122,0,0qabqa=-(20)cosin,;,xtt tybp- +当 时，令 有3n=()()()()0123,qabqaab-=-=-(21)()2cosin,0,;2,3xtt tybp -当 时，令 有4n=()()()01234,0,qaqbaqb=-(

14、22)()sinco,30,;2,axtt tby p- +T-B 样条曲线具有与同阶 B 样曲线完全类似的性质： 端点插值性质、导矢性质、凸包性、变差缩减性等，且表达式简单，特别是 T-B 样条曲线可以不需有理形式即可精确表示椭圆弧等，相应的张量积曲面可精确表示椭球面等， 同时还能与多项式或有理多项式参数曲线相互转化，在造型设计方面使用简便。4 均匀 T - B 样条曲线的研究 10在飞机外形设计与机械零件加工中经常遇到许多有二次曲线弧和二次曲面片表示的形状， 如圆弧、椭圆弧、椭球面、圆柱面等，这些曲线曲面在设计中需要有精确的表现形式，在制造上要求有较高的精确度。B 样条方法在解决这类问题时

15、无能为力，只能给出近似表示，这就存在了设计误差问题； NURBS 方法较好地解7决了上述问题，然而其有理形式也带来了曲线曲面设计的复杂化，而且其权因子与参数化问题至今没有完全解决。4.1 均匀 T - B 样条基函数的定义若所构造的均匀 T- B 样条曲线与均匀 B 样条曲线具备类似的几何特性，则待构造的基函数必须具备正性和权性以及相应的端点性质。曲线表达式为：()()0,02njjPttp=()23其中， ()()()() )() ()() )0, 0,2201 1,1,0,.; ,1.,2kj jjnjjj j nnj kkjj jjtt kjknppp=+ + =- - (24当 时，取n(25) (),2012sincositCttj结合式 得到：(26)()()0,21,21,22,0ppjjjj=(27)()()20,22,0,22, 1,0; ;jtjjjj=建立方程组解得：()()0,21,22,sinsincoctttj jj=-=+ - ()28当