中考数学（陕西省）总复习教学案：第22讲　平行四边形(含多边形)

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1、第22讲平行四边形(含多边形)陕西中考说明陕西20122014年中考试题分析考点归纳考试要求年份题型题号分值考查内容分值比重考点1n边形、四边形的性质、平面图形的镶嵌1.了解并探索多边形的内角和与外角和公式；2.了解正多边形的概念；3.了解四边形的不稳定性；4.通过探索平面图形的镶嵌(或密铺)，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计2014填空题13(A)3正五边形的性质0.8%考点2平行四边形的性质以及判定1.掌握平行四边形的概念和性质；2.掌握并探索平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件；3.了解并探索线段、矩形、平行四边形、三角形的

2、重心及物理意义(如一根均匀木棒、一块均匀的矩形木板的重心)2014解答题24(3)3二次函数综合题中涉及平行四边形的性质2012解答题18(1)3利用平行四边形的性质及三角形相似，证明线段相等2.5%考点3三角形中位线定理会证明三角形中位线定理在近几年的陕西中考试题中，这部分主要考查平行四边形的性质及判定，有时会与三角形的相似结合考查，有时会在二次函数综合题中涉及平行四边形的性质，多边形的性质在2014年考查过一次，预计2015年中考对本部分内容可能会考查以下内容：1.平行四边形的性质与判定；2.多边形及平面图形的镶嵌，对平行四边形的性质与判定的考查题型仍会以解答题为主，对多边形及平面图形的镶

3、嵌可能会以选择或填空题进行考查，难度不会太大1n边形、四边形的性质、平面图形的镶嵌(1)n边形的内角和为_(n2)180_，外角和为_360_，对角线条数为_(2)四边形的内角和为_360_，外角和为_360_，对角线条数为_2_(3)正多边形的定义：各条边都_相等_，且各内角都_相等_的多边形叫正多边形正(2n1)边形是轴对称图形，对称轴有_2n1_条；正2n边形既是轴对称图形又是中心对称图形(4)平面图形的镶嵌定义：把形状、大小相同的一种或几种平面图形拼接到一起，使得平面上不留空隙，又不重叠，这就是平面图形的镶嵌用同一种多边形可以镶嵌的有正三角形，正方形，正六边形等；也可用几种不同的多边形

4、进行镶嵌正多边形镶嵌问题的关键是几个多边形的同一顶点的几个角，它们的和等于_360_注意：通过正多边形的镶嵌问题，进而理解正三角形、正方形、正六边形乃至任意三角形，任意四边形都能进行平面镶嵌的道理发现拼成一个不留空隙又不重叠的平面图形的关键是几个多边形的同一个顶点的几个角，它们的和等于360.2平行四边形的性质以及判定(1)性质：平行四边形两组对边分别_平行且相等_；平行四边形对角_相等_，邻角_互补_；平行四边形对角线_互相平分_；平行四边形是_中心_对称图形(2)判定方法：定义：_两组对边分别平行_的四边形是平行四边形；_一组对边平行且相等_的四边形是平行四边形；_两组对边分别相等_的四边

5、形是平行四边形；_两组对角分别相等_的四边形是平行四边形；_对角线互相平分_的四边形是平行四边形3三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半一个方法面积法：在三角形和平行四边形中，运用“等积法”进行求解，以不同的边为底，其高也不相同，但面积是定值，从而得到不同底和高的关系一个防范图形的直观性可帮助探求解题思路，但也可能因直观判断失误或用直观判断代替严密推理，造成解题失误一定要对所有直观判断加以证明，不可以用直观判断代替严密的推理四个误区误区一：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；误区二：一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；误区三：一组对边相等，一条

6、对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；误区四：一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形四种辅助线(1)常用连对角线的方法把四边形问题转化为三角形的问题；(2)有平行线时，常作平行线构造平行四边形；(3)有中线时，常作加倍中线构造平行四边形；(4)图形具有等邻边特征时(如：等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形等)，可以通过引辅助线把图形的某一部分绕等邻边的公共端点旋转到另一位置(2012陕西)如图，在ABCD中，ABC的平分线BF分别与AC，AD交于点E，F.(1)求证：ABAF；(2)当AB3，BC5时，求的值解：(1)如图，在ABCD中，ADBC，23.BF是ABC

7、的平分线，12，13，ABAF(2)AEFCEB，23，AEFCEB， 平行四边形的判定【例1】(2014徐州)如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在AC上，且AECF.求证：四边形BEDF是平行四边形解：证明：如图，连接BD，设对角线交于点O.四边形ABCD是平行四边形，OAOC，OBOD.AECF，OAAEOCCF，OEOF.四边形BEDF是平行四边形【点评】探索平行四边形成立的条件，有多种方法判定平行四边形：若条件中涉及角，考虑用“两组对角分别相等”或“两组对边分别平行”来证明；若条件中涉及对角线，考虑用“对角线互相平分”来说明；若条件中涉及边，考虑用“两组对边分别平行”或“一组对边平

8、行且相等”来证明，也可以巧添辅助线，构建平行四边形1(2013鞍山)如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AFCE，DFBE，DFBE.求证：(1)AFDCEB；(2)四边形ABCD是平行四边形证明：(1)DFBE，DFEBEF，DFABEC.又AFCE，DFBE，AFDCEB(SAS)(2)由(1)知AFDCEB，DACBCA，ADBC，ADBC，四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)运用平行四边形的性质进行推理论证【例2】(2014聊城)如图，四边形ABCD是平行四边形，作AFCE，BEDF，AF交BE与G点，交DF与F点，CE交DF于H点，交BE于

9、E点求证：EBCFDA.证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，AFCE，BEDF，四边形BHDK和四边形AMCN是平行四边形，FADECB，ADFEBC，在EBC和FDA中，EBCFDA(ASA)【点评】利用平行四边形的性质，可以证角相等、线段相等，其关键是根据所要证明的全等三角形，选择需要的边、角相等条件；也可以证明相关联的四边形是平行四边形2(2013宁夏)在ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PEAB，交AD于E，连接CE，CP，已知A60.(1)若BC8，AB6，当AP的长为多少时，CPE的面积最大，并求出面积的最大值；(2)试探究当CPECPB时，ABCD的两

10、边AB与BC应满足什么关系？解：(1)延长PE交CD的延长线于F，设APx，CPE的面积为y，四边形ABCD为平行四边形，ABDC6，ADBC8，RtAPE，A60，PEA30，AE2x，PEx，在RtDEF中，DEFPEA30，DEADAE82x，DFDE4x，ABCD，PFAB，PFCD，SCPEPECF，即yx(10x)x25x，配方得：y(x5)2，当x5时，y有最大值为，即AP的长为5时，CPE的面积最大，最大面积为 (2)当CPECPB时，有BCCE，BPEC120，CED180AEPPEC30，ADC120，ECDCED1801203030，DECD，即EDC是等腰三角形，过D作

11、DMCE于M，则CMCE，在RtCMD中，ECD30，cos30，CMCD，CECD，BCCE，ABCD，BCAB，则当CPECPB时，BC与AB满足的关系为BCAB三角形中位线定理【例3】(2013鞍山)如图，D是ABC内一点，BDCD，AD6，BD4，CD3，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是_11_.【点评】当已知三角形一边中点时，可以设法找出另一边的中点，构造三角形中位线，进一步利用三角形的中位线定理，证明线段平行或倍分问题3(2014邵阳)如图，在RtABC中，C90，D为AB的中点，DEAC于点E.A30，AB8，则DE的长度是_2_试题如图

12、，已知六边形ABCDEF的六个内角均为120，CD10 cm，BC8 cm，AB8 cm，AF5 cm，求此六边形的周长错解解：如图，连接EB，DA，FC，分别交于点M，N，P.FEDEDC120，DEMEDM60，DEM是等边三角形同理，MAB，NFA也是等边三角形FNAF5，MAAB8.EFA120，EFC60，EDFC，同理，EFDN.四边形EDNF是平行四边形同理，四边形EMAF也是平行四边形，EDFN5，EFMA8.六边形ABCDEF的周长ABBCCDDEEFFA881058544(cm)剖析上述解法最根本的错误在于多边形的对角线不是角平分线，从证明的一开始，由FEDEDC120得到

13、DEMEDM60的这个结论就是错误的，所以后面的推理就没有依据了，请注意对角线与角平分线的区别，只有菱形和正方形的对角线才有平分一组对角的特性，其他的不具有这一性质不可凭直观感觉就以为对角线AD，BE平分CDE，DEF.切记：视觉不可代替论证，直观判断不能代替逻辑推理正解解：如图，分别延长ED，BC交于点M，延长EF，BA交于点N.EDCDCB120，MDCMCD60，M60，MDC是等边三角形CD10，MCDM10.同理，ANF也是等边三角形，AFANNF5.ABBC8，NB8513，BM81018.E120，EM180，ENMB.四边形EMBN是平行四边形，ENBM18，EMNB13，EFENNF18513，EDEMDM13103，六边形ABCDEF的周长ABBCCDDEEFFA8810313547(cm)