《创新设计2011第九章直线平面简单几何体9-45》由会员分享，可在线阅读，更多相关《创新设计2011第九章直线平面简单几何体9-45（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、理解直线和平面垂直的概念/掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理/掌握三垂线定理及其逆定理,第45课时 直线与平面垂直 三垂线定理,1定义：如果一条直线和一个平面 ，并且和这个平面内的 一条 直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平 面的 线，平面叫做直线的 面交点叫做 直线与平面垂直 简称线面垂直，记作：a. 2直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直 线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面,相交,任意,垂,垂,垂足,3三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它也和这条斜线垂直 4三垂线定理的逆定理： 的一条直线，如
2、果和这个平面的一条 垂直，那么它也和这条斜线的 垂直,在平面内,斜线,射影,1设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，则“l”是“lm且 ln”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案：A,2对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l( ) A平行 B相交 C垂直 D互为异面直线 答案：C 3m、n是空间两条不同直线，、是两个不同平面，下面有四个命题： m，n，mn；mn，mn； mn，mn；m，mn，n；其 中，真命题的编号是_(写出所有真命题的编号) 答案：,4平行四边形的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，已知其中有 两个顶
3、点到的距离分别为1和2，那么剩下的一个顶点到平面的距离可 能是： 1 2 3 4 以上结论正确的为_(写出所有正确结论的编号) 答案：,直线与平面垂直的判定定理是由线线垂直判定线面垂直，而线面垂直的定义是给出了线线垂直与线面垂直之间的关系，在解决线面垂直的过程中特别要注意线线垂直与线面垂直的互相转化,【例1】 如图，已知la，l，试判断直线a与平面的位置关系，并证明 你的结论 证明：直线a平面，或者直线a平面. 证法一：(1)若直线a平面，即证 (2)若直线a平面，过直线a上一点作cl，由l知：c， ca.设a、c确定的平面，b，cb.因此ab，又a平面 ，根据直线与平面平行的判定定理知：a.
4、,证法二：(1)若直线a平面，即证 (2)若直线a平面，如右图，取空间向量的一组基底e1，e2，e3，则e1e30，e2e30，e3a0，根据空间向量的基本定理：axe1ye2ze3，ae3(xe1ye2ze3)e30，即ze0，z0. 因此axe1ye2，即a，e1，e2共面又a 平面， a.,变式1.如图，已知l，ABB，AO，AOO，且lBO. 求证：lAB. 证明：设直线l与点B确定的平面为，且l，则ll，由lBO得lBO，根据三垂线定理lAB，因此lAB.,证线面垂直的方法： (1)利用线面垂直定义：证一直线垂直于平面内任一直线，则这条直线垂直于该平面 (2)用线面垂直的判定定理：证
5、一直线与平面内两相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直 (3)用线面垂直的性质：两平行线之一垂直于这个平面，则另一条也必垂直于这个平面 (4)用面面垂直的性质定理：两平面垂直，在一个面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面 (5)用面面平行的性质：一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另一平面,【例2】 如右图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面正方形 的中心，M为棱DD1的中点，试证：B1O平面MAC. 证明：证法一：如图(1)，连结AB1、CB1， 由AB1CB1，又O为AC的中点， B1OAC.连结OM、MB1、B1D1， 可证 ，B1OOM. 根据直线与平面垂直的判定定理知：B1O
6、平面MAC.,证法二：如图(2)建立直角坐标系Dxyz，设DD11则M、C、B1、O的坐标分别为(0,0， )、(0,1,0)、(1,1,1)、( ， ，0) (0,1， )， ( ， ，1)， 0，因此 .同理可证： ，B1O平面MAC.,变式2.在四面体ABCD中，已知ABCD，ACBD， 试证：ADBC. 证明：证法一：如右图，过A点作AO平面 BCD，垂足为O，连结BO、CO、DO. 由ABCD，ACBD，根据三垂线定理的逆定 理知：BOCD，COBD， 则O为BCD的垂心，DOBC. 根据三垂线定理知ADBC.,证法二：设 根据已知条件 得a(bc)0，即ADBC. 点评：证法一非常
7、典型地体现了三垂线定理和逆定理的应用；而证法二利用向量将几何问题彻底代数化，此种方法也可证明三角形的三条高线交于一点.,由平面与平面垂直的性质可以解决直线与平面的垂直问题，得到平面的垂线后可作出直线与平面所成的角，二面角的平面角等，可通过直线与平面垂直，解决空间的角和距离等问题,【例3】 如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底 面ABCD.已知ABC45，AB2，BC2 ，SASB . (1)证明：SABC；(2)求直线SD与平面SBC所成角的大小,解答：(1)证明：如图，作SOBC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC底面ABCD，得SO底面ABCD.因为SASB，所以
8、AOBO.又ABC45，故AOB为等腰直角三角形，AOBO，由三垂线定理，得SABC.,(2)由(1)知SABC，依题设ADBC，故SAAD，由ADBC2 ，SA ，AO ，得SO1，SD .SAB的面积：S1 连结DB，得DAB的面积S2 ABADsin 1352. 设D到平面SAB的距离为h，由VDSABVSABD， 得 hS1 SOS2，解得h.设SD与平面SAB所成角为， 则sin .所以，直线SD与平面SAB所成的角为arcsin .,1在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义，判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化 2利用向量的内积证
9、明线线垂直是非常有效的 3三垂线定理和逆定理大大简化了线线垂直到线面垂直的相互转化过程，同时三垂线定理也是作二面角平面角的重要理论依据，而使用三垂线定理和逆定理的前提就是要会观察点、直线及图形在一个平面内的射影.,【方法规律】,(本题满分12分)如右图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段点A、B在l1上，C在l2上，AMMBMN. (1)证明ACNB； (2)若ACB60，求NB与平面ABC所成角的余弦值.,【考卷实录】,线面垂直是高考的必考内容，可能以选择和填空题的形式考查命题的正误以及投影等问题，也可能以解答题的形式，通过证明线面垂直，进而解决线面成角、点面距离、二面角等
10、问题 本题主要解决直线与平面垂直问题，本题源于正方体“一角” 利用几何法证明和计算，更能揭示问题的实质，其解法如下：,【分析点评】,解答：(1)证明：由已知CNAB，CNMN， 又ABMNM，则CN平面ABN， 因此BNCN， 又AMMBMN，则ANB90， 因此BNAN， 由ANCNN和可知：BN平面ACN， 因此ACNB.,(2)由MNAB，且AMMBMN知， ANB为等腰直角三角形 又CNAN，CNBN，则ANCBNC， 因此ACBC，又ACB60， 则ABC为正三角形，ANCBNCANB. 过N点向平面ABC作垂线NO，垂足为O. 则O为ABC的中心，NBO为直线NB与平面ABC所成的角，设BN1， cosNBO .,点击此处进入 作业手册,
