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1、选修4-2 矩阵与变换 第一节 平面上的变换与矩阵,1.线性变换的相关概念 一般地,如果变换T：P(x,y) ,P(x,y)前后坐标之间 的关系具有如下的形式: _,也就是x,y都是x,y的常数项为0的一次函数， 则称变换T为线性变换，写成 的形式.,_,_,2.矩阵的相关概念 (1)由4个数a,b,c,d排成的2行2列的数表_称为2行2列的 矩阵，也称为22矩阵,通常用大写字母A、B、C、表示. (2)矩阵与列向量的乘法： .,【即时应用】 (1)思考：22矩阵与列向量的乘法规则是什么？ 提示:22矩阵与列向量的乘法规则是矩阵的每一行的系数与列向量的两个变量分别相乘再相加得到一个新的列向量.
2、,(2) =_. 【解析】 答案：,(3)已知 ，则 =_. 【解析】由条件得 ,解得 , 从而 答案：,3.逆变换与可逆变换 (1)逆变换 若T：P T(P),则M：_. 若M:Q M(Q),则T：_. 则称M为T的逆变换，记作：M=_. 同样T也是M的逆变换，记作：T=M-1. 因此(T-1)-1=_，(M-1)-1=_.,T(P) P,M(Q) Q,T-1,T,M,(2)可逆变换 若变换T满足平面上不同的点被变换T变到_；变 换T将平面变到_，即平面上每一个点Q都是平面上某 一点P的_，则称变换T为可逆变换，可逆变换一定有逆 变换.,不同的点,整个平面,像T(P),【即时应用】 若变换T
3、是将平面内的点逆时针旋转 ，则变换T-1对应的矩 阵为_. 【解析】由题意 答案：,4.常见变换对应的矩阵 (1)旋转变换 绕原点O按逆时针方向旋转角： (2)伸缩变换：在直角坐标系xOy内，将每个点的纵坐标变为 原来的k(k0)倍的伸缩变换的矩阵为 将每个点的 横坐标变为原来的k(k0)倍的伸缩变换的矩阵为 将 每个点的横坐标变为原来的k1倍，纵坐标变为原来的k2倍(k1,k2 0)的伸缩变换的矩阵为,(3)反射变换 关于直线Ax+By=0的反射的矩阵 (4)位似变换 位似中心为O，相似比为k，使 的矩阵为 (5)投影变换 平面到直线l：Ax+By=0的投影变换的矩阵,【即时应用】 (1)在
4、平面直角坐标系xOy内，将每个点的横坐标变为原来的2 倍，将每个点的纵坐标变为原来的 倍，该变换对应的矩阵为_. (2)关于直线x-2y=0的反射变换的矩阵为_. (3)函数y= 在旋转变换 作用下得到的新曲线的 方程为_.,【解析】(1)由伸缩变换方法易得所求矩阵为 (2)A=1，B=-2，,(3)设新曲线上任意点(x,y), 由 得 ,从而 代入y= 得y2-x2=2,即新曲线的方程为y2-x2=2.,答案：(1) (2) (3)y2-x2=2,热点考向 1 线性变换与矩阵 【方法点睛】 线性变换及其矩阵 平面内的线性变换都对应着相应的二阶矩阵，而任何一个二阶矩阵都对应着相应的线性变换，关
5、键是要熟悉常见的线性变换的二阶矩阵，在此基础上才能灵活运用.,【例1】写出关于直线 的反射的矩阵. 【解题指南】代入反射变换的矩阵公式，通过计算求矩阵. 【规范解答】关于直线Ax+By=0的反射的矩阵为 将直线方程变为x-3y=0， A=1，B=-3，,关于直线 的反射的矩阵为,【互动探究】试写出平面到直线 的投影变换的矩阵. 【解析】平面到直线Ax+By=0的投影变换的矩阵为 将直线方程化为x-3y=0，A=1，B=-3, 平面到直线 的投影变换的矩阵为,【反思感悟】1.根据本题可知，求线性变换的矩阵关键是公式的应用. 2.在应用公式求线性变换的矩阵时，特别注意矩阵元素的结构，不要代错.,热
6、点考向 2 22矩阵与列向量的乘法及其应用 【方法点睛】 22矩阵与列向量的乘法应用的方法 设22矩阵A ，点P(x，y)经22矩阵A对应的变换作 用下得到点P(x，y)，三者满足的关系式： 常见的问题设置是知道三者中的两个求第三个，解题的方法从 根本上讲是一样的，即列方程组求解.,【例2】(2012泉州模拟)二阶矩阵A对应的变换将点(1，-1)与(-2，1)分别变换成点(-1，-1)与(0，-2)，求矩阵A. 【解题指南】求矩阵A一般可用待定系数法，设出矩阵A后,利用矩阵与向量的乘法列方程组求解. 【规范解答】设A= 由题意A 即,解得,【反思感悟】设矩阵A ，点P(x，y)经矩阵A对应的变
7、 换作用下得到点P(x，y)，三者满足的关系式： 常见的问题设置是知道三者中的两个求第三个，解题的方法从根本上讲是一样的，即列方程组求解.,【变式训练】向量a在矩阵A= 的作用下变为与向量 平行的向量且向量的模为1，求a. 【解析】设a= ,则由条件得 解得sin=cos,从而所求向量为a= 或a=,【变式备选】已知 设=a+b，=a-b，求A,A. 【解析】由条件得 从而,热点考向 3 线性变换与曲线方程 【方法点睛】 线性变换与曲线方程问题的解题方法 曲线C在矩阵A变换后得到曲线C.这一变换过程通过公式 (*)确定，常见的设问及其解决方法有： (1)若已知曲线C的方程，矩阵A，求曲线C的方
8、程，则通过公 式(*)表示出x，y，代入曲线C的方程即得曲线C的方程.,(2)若已知曲线C的方程，矩阵A，求曲线C的方程，则由公式 (*)直接将x，y代入曲线C的方程后即得曲线C的方程. (3)若已知曲线C，C的方程，求矩阵A，则先设出矩阵A，再在 曲线C上任取一点(x,y)，通过公式(*)代入曲线C的方程后得 曲线C的另一形式的方程，再与曲线C的方程比较系数，利用系 数相等列方程组求矩阵A.,【例3】(2011福建高考)设矩阵M= (其中a0，b0). 若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线 C： ，求a，b的值. 【解题指南】本题变换矩阵符合伸缩变换的特征，求解的关
9、键 是准确把握变换前后点的坐标间的关系，运用待定系数法列出 方程组，即可获解.,【规范解答】设曲线C上任意一点P(x,y)，它在矩阵M所对应的 线性变换作用下得到点P(x,y). 则 即 又点P(x,y)在曲线C上，所以 则 为曲线C的方程. 又已知曲线C的方程为x2+y2=1，故 ，又a0,b0，所以,【互动探究】在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2+y2=1在本例 中矩阵M对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程. 【解析】由本例解析知M= 设P(x0,y0)是椭圆上任意一点，点P(x0,y0)在矩阵对应的变换作 用下变为点P(x0,y0),则有 即 ，所以 又因为点P在椭圆上，故 ，从而
10、(x0)2+(y0)2=1, 所以，曲线F的方程是x2+y2=1.,【反思感悟】本题是已知变换之前和变换之后的曲线方程，求变换矩阵的问题求解的方法是设出变换之前和变换之后的坐标，利用矩阵乘法建立关系，再利用变换前后的曲线方程建立方程组.,【变式备选】已知二阶矩阵M 矩阵M对应的变换将点 (2,1)变换成点(4，1).求矩阵M将圆x2y21变换后的曲线 方程. 【解析】由已知得 即 解得 设点P(x，y)是圆x2y21上的任意一点，变换 后的点为P(x，y)，则 所以,从而 则变换后的曲线方程为(x2y)2(xy)29，化简得2x22xy5y29. 即变换后的曲线方程为2x2-2xy+5y2=9.,
