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1、第三章 级数,1 复数项级数,2 幂级数,3 泰勒级数,4 洛朗级数,2 幂级数,1. 幂级数概念,2. 收敛圆与收敛半径,3. 收敛半径的求法,4. 幂级数的运算和性质,1. 幂级数的概念,称为复变函数项级数。最前面n项的和,设,称为这级数的部分和。,区域D内有定义。表达式,为一复变函数序列, 其中各项在,存在, 则称复变函数项级数在z0收敛, 而s(z0)称为它的和。,如果对于D内的某一点z0, 极限,若级数在D内处处收敛, 则和一定是z 的一个函数 s (z)：,s(z)称为级数,的和函数。,这种级数称为幂级数。,级数的特殊情形:,如果令,或,当 fn(z)=cn-1(z-a)n-1或
2、fn(z)=cn-1zn-1时, 就得到函数项的,形式, 为了方便, 今后常就讨论第二式。, 这是第二式的, 则上式就成为,定理一(阿贝尔Abel定理),若级数,在,收敛，则对满足,的z，级数必绝对收敛，如果在,级数发散，则对满足,的z，级数必发散。,同高等数学中的幂级数一样，复变幂级数也有所谓,幂级数的收敛定理。,证,因,收敛，则,则存在使对所有的n 有,如果,，则,而,由于,为公比小于1的等比级数，故收敛，因此,亦收敛，从而级数,是绝对收敛的。,如果级数,发散，且如果 。,用反证法，设级数,结论可导出,收敛，与所设矛盾，因此只能是,发散。,反而收敛，则根据前面的,2. 收敛圆和收敛半径,利
3、用阿贝尔定理, 可以定出幂级数的收敛范围,对一,个幂级数来说, 它的收敛情况不外乎三种：,i) 对所有的正实数都是收敛的。这时, 根据阿贝尔,定理可知级数在复平面内处处绝对收敛。,ii) 对所有的正实数除 z=0外都是发散的。这时, 级数,在复平面内除原点外处处发散。,iii) 既存在使级数收敛的正实数, 也存在使级数发散,的正实数。设,时, 级数发散。当由小逐渐变大时,(正实数)时, 级数收敛,(正实数),一个以原点为中心, R为半径的圆周CR。,必定逐渐接近,显然ab, 将收敛域染成红色, 发散域为蓝色.,在CR的内部都是红色,外部都是蓝色。这个红蓝,两色的分界圆周CR称为幂,级数的收敛圆
4、。在收敛圆,的内部, 级数绝对收敛。,以z=a为中心的圆域。在收敛圆上是否收敛, 则不一定。,的外部, 级数发散。收敛圆,收敛圆的半径R称为收敛半径。所以幂级数的收敛,范围是以原点为中心的圆域。对幂级数来说, 收敛范围是,例1 求幂级数,解 级数是等比级数，部分和为,的收敛范围与和函数。,当,时，由于,，从而有, 即,时级数,收敛，和函数为,不趋于零，级数发散。收敛范围为, 当,时，由于,时,，在此范围内,绝对收敛，并有,3.收敛半径的求法,定理二(比值法),，则收敛半径,如果,证,时，,收敛。由上节定理三，级数,由于,故知当,在圆,内收敛。,为,外有一点,，使级数,再证当,时，级数,发散。假
5、设在圆,收敛。在圆外再取一点,，,，那么根据阿贝尔定理，级数,必,收敛。然而,，所以,收敛的假定不能成立。因而,使级数,在圆,这跟,收敛相矛盾，即在圆周,外有一点,，,使, 那么根据阿贝尔定理，级数,必收敛。,然而,，所以,收敛的假定不能成立。因而,使级数,外发散。以上的结果表明了收敛半径,在圆,这跟,收敛相矛盾，即在圆周,注意：定理中的极限是假定存在的且不为零。若, 那么对任何z, 级数,收敛, 从而级数,证明从略。,，则收敛半,定理三(根值法),如果,因此,也不能收敛, 即R=0。否则, 根据阿贝尔定理,将有,使得级数,收敛。,复平面内除z=0以外的一切z，级数,都不收敛。,径为,在复平面
6、内处处收敛，即,。如果,，那么对于,例2 求下列幂级数的收敛半径,(并讨论在收敛圆周上的情形)；,(并讨论 z = 0,2 时的情形)；,1),2),3),解,1) 因为,或,所以收敛半径 R =1，也就是原级数在圆| z |=1内收敛, 在,圆周外发散。在圆周| z |=1上，级数,是收敛的,例2 求下列幂级数的收敛半径,(并讨论在收敛圆周上的情形)；,(并讨论 z = 0,2 时的情形)；,1),2),3),解,1),在圆周| z |=1上，级数,是收敛的,因为这是一个 p 级数，p = 3 1，所以原级数在收敛圆,上是处处收敛的。,例2 求下列幂级数的收敛半径,(并讨论在收敛圆周上的情形
7、)；,(并讨论 z = 0,2 时的情形)；,1),2),3),解,2),级数收敛；当z=2时，原级数成为,也有级数的发散点。,，即 R =1。,这个例子表明，在收敛圆周上即有级数的收敛点，,上，当z = 0时，原级数成为,在收敛圆,发散。,例2 求下列幂级数的收敛半径,(并讨论在收敛圆周上的情形)；,(并讨论 z = 0,2 时的情形)；,1),2),3),解,3),因为,故收敛半径为,，所以,2),上，当z = 0时，原级数成为,，级数收敛；当z=2,上即有级数的收敛点，也有级数的发散点。,，即 R =1。在收敛圆,时，原级数成为,发散。这个例子表明，在收敛圆周,3),因为,故收敛半径为,
8、因为这是一个 p 级数，p = 3 1，所以原级数在收敛圆,上是处处收敛的。,，所以,例 求下列幂级数的收敛半径,1),2),3),解,1),4),5),例 求下列幂级数的收敛半径,1),2),3),解,2),4),5),例 求下列幂级数的收敛半径,解,3),1),2),3),4),5),例 求下列幂级数的收敛半径,解,4),1),2),3),4),5),例 求下列幂级数的收敛半径,1),2),3),解,5),4),5),4. 幂级数的运算和性质,在以原点为中心, r1, r2中较小的一个为半径的圆内, 这两,个幂级数可以象多项式那样进行相加, 相减, 相乘, 所得到,的幂级数的和函数分别就是
9、 f (z)与 g (z)的和,差与积。在,象实变幂级数一样, 复变幂级数也能进行有理运算。,具体说来，设,中较小的一个，也就是,各种情形，所得到的幂级数的收敛半径大于或等于r1与r2,为了说明两个幂级数经过运算后所得的幂级数的收敛半,径确定可以大于r1与r2中较小的一个, 下面举一个例子。,例3 设有幂级数,与,，求,的收敛半径。,例3 设有幂级数,与,，求,的收敛半径。,解,但级数,容易验证，,与,的收敛半径都等于1,的收敛半径,的公共收敛圆域,自身的收敛圆域大于,这就是说,，但应注意，使等式,与,例3 设有幂级数,与,，求,的收敛半径。,解,的公共收敛圆域,自身的收敛圆域大于,这就是说,
10、，但应注意，使等式,与,成立的收敛圆域仍应为,，不能扩大。,更为重要的是代换(复合)运算, 就是：,把函数展开成幂级数时, 有着广泛的应用。,如果当,时, 又设在,内g (z)解析且满足,则当,时，,。这个代换运算, 在,例4 把函数,表成形如,的幂级数，其中,a与b是不相等的复常数。,解,把函数,写成如下形式：,当,时，有,例4 把函数,表成形如,的幂级数，其中,a与b是不相等的复常数。,解,设,从而可得,，那么当,时，上式右端的级数收敛，,例4 把函数,表成形如,的幂级数，其中,a与b是不相等的复常数。,解,设,，那么当,时，上式右端的级数收敛，,且其和为,且。因为z=b时，,阿贝尔定理知
11、，当,级数发散，即上式右端的级数,当|z-a|b-a|=R时 级数收敛,上式右端的级数发散，故由,时，,的收敛半径为,本题的解题步骤为：首先把函数作代数变形，,使其分母中出现量,再按照展开式为已知的函数,的形式写成,，其中,。然后把,展开式中的 z 换成 g (z)。,例 把函数,分别表成形如,和,的幂级数，并求其收敛半径。,解,(1)把函数,而,时，即,展开成形如,的幂级数，,即,例 把函数,分别表成形如,和,的幂级数，并求其收敛半径。,解,(2)把函数,而,时，即,展开成形如,的幂级数，,即,定理四 设幂级数,的收敛半径为R，则,1) 它的和函数,是收敛圆,的解析函数。,2) f (z) 在收敛圆内的导数可将其幂函数逐项求导,内,得到，即,3) f (z)在收敛圆内可以逐项积分, 即,或,复变幂函数也象实变幂级数一样，在其收敛圆内具,有下列性质：,例 求下列幂级数的收敛半径及其和函数,1),2),3),解,1),2),例 求下列幂级数的收敛半径及其和函数,1),2),3),解,3),例 求下列幂级数的收敛半径及其和函数,1),2),3),解,1),4),2),3),4),
