《郭正光-经济数学第33次授课提纲新》由会员分享，可在线阅读，更多相关《郭正光-经济数学第33次授课提纲新（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、经济数学授课提纲,第二学期第三十三次授课 授课教师：郭正光,第十章 微分方程与差分方程,上次课内容复习：,1、微分方程的基本概念；,2、微分方程的通解与特解；,3、可分离变量的微分方程及其求解方法。,本次课后作业：EX 10-2 3, 4, 5,10.2 可分离变量的微分方程与齐次方程,二、齐次方程,在一阶微分方程中，可化为形如,的微分方程，称为一阶齐次微分方程，简称齐次方 程,得,两边求导得,在齐次方程(3)中令,将其代入方程，得,这是可分离变量的方程，分离变量并两边积分，得,例如方程,可以变形为,例5 抛物线的光学性质,实例: 车灯的反射镜面-旋转抛物面,解,如图,由夹角正切公式得,得微分
2、方程,分离变量,积分得,平方化简得,抛物线,以下介绍Malthus人口理论与Logistic模型,马尔萨斯(17661834) Malthus，Thomas Robert 英国经济学家。出生于英格兰 一个土地贵族家庭。1784年入剑 桥大学，1798年加入英国教会的 僧籍，任牧师。1799年到欧洲一些国家调查人口 问题。1805年任黑利伯里学院历史和政治经济学 教授。1819年马尔萨斯当选为皇家学会会员。,为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。 以下建立的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合
3、来研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立相应的模型。,种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续且可微变量，由此引起的误差将是十分微小的。,Malthus模型与Logistic模型,模型1 马尔萨斯（Malthus）模型,为了建立人口增长模型， Malthus假定：在任何时刻 t，人口的增长率始终与该时刻的人口数N成正比，记比例常数为 为出生率， 为死亡率）。,于是得Malthus人口增长模型：,(1),分离变量即可求得,马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定的。,令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：,故,Malth
4、us模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。,所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。,模型2 Logistic模型,人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(N),r(N)是未知函数，但根据实际背景，它无法用拟合方法来求 。,为了得出一个有实际意义的模型，我们不妨采用一下工程师原则。工程师们在建立实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简单的方法。,r(N)最简单的形式是常数，此时得到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模型的最简单的改进就是引进一次项（竞争项）,(3.9)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为K（近似地将K看成常数），N表示当前的种群数量，K-N恰为环境还能供养的种群数量，（3.9）指出，种群增长率与两者的乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（3.9）也被称为统计筹算律的原因。,对（3.9）分离变量：,两边积分并整理得：,令N(0)=N0，求得：,N(t)的图形请看图3.5,图3-5,
