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1、第八章 相量法,8-1 复 数,8-2 正弦量,8-4 电路定律的相量形式,8-3 相量法基础,2. 正弦量的相量表示,3. 电路定理、元件的相量形式；,重 点：,1. 正弦量的三要素、相位差；,8-1 复 数,一、复数的代数式,二、复数的三角形式,|F|,或,三、复数的指数和极坐标形式,四、复数的加、减运算,F1=a1+jb1,F2=a2+jb2,加法： F=（a1 a2） +j（b1b2）,减法： F=（a1 a2） +j（b1b2）,欧拉公式,极坐标形式,指数形式, 采用代数式,图解法,F1,F2,F1+F2,五、复数的乘、除运算,F1=|F1| e j1,F2=|F2| e j2,乘法
2、：,除法：,F1 F2 =|F1 F2 | e j（1 2）,六、共轭复数,F=a+jb,F*=a-jb,互为共轭复数,F F*=2a,F F*=2bj,F F*=a 2+b2,a=(F F*)/2,b=(F -F*)/2j, 采用极坐标式,模相乘 角相加,模相除 角相减,七、旋转因子,一个复数乘以 j，就相当于把该复数逆时针旋转 /2,一个复数乘以 -j，就相当于把该复数顺时针旋转 /2,一个复数乘以 -1，就相当于把该复数逆时针旋转 ,+j 、 -j 、 -1都可以看成是旋转因子,F逆时针旋转一个角度，模不变,Fej,Im,例1,解,例2,解,交流电,如果电流或电压每经过一定时间 （T ）
3、就重复变化一次，则此种电流 、电压称为周期性交流电流或电压。如正弦波、方波、三角波、锯齿波 等。,正弦交流电,如果交流电的大小与方向均随时间按正弦规律变化，称为正弦交流电。,8-2 正弦量,正弦交流电路,传输经济； 变压方便； 交流电机运行稳定，价格便宜； 波形不畸变。,正弦交流电的优点,激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。,一、正弦量的三要素：,幅值 (振幅、最大值)Im,(2) 角频率,(3) 初相位y,单位： rad/s ，弧度/秒,反映正弦量变化幅度的大小。,相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。,反映正弦量的计时起点，常用角度表示。,i(t)=
4、Imcos(w t+y),振幅（最大值）:,电量名称必须大写,下标加 m。 如：Um、Im 、Em,有效值:,与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值,1、振幅 与 有效值,定义:,有效值也称方均根值 (root-meen-square， 简记为 rms。),W2=I 2RT,物理含义:,电压有效值,（1）有效值的定义,W1=W2,(2)正弦电流、电压的有效值,设 i(t)=Imcos(t + y ),根据：,有效值用大写字母表示,2、频率 f、周期 T、角频率 ,周期 T： 波形变化一周所需的时间 单位：S，mS,角频率：每秒函数相位角变化的弧度数 单位： rad/s,频率 f： 每秒波形
5、变化的次数 单位：Hz，KHz.,T,例：在工频（50Hz）情况下,周期为：T=0.02 s 角频率： =314rad/s,3、初相位,相位：,初相位:,初相位等于离计时起点最近的一个正弦正最大值点和计时起点之间的角度。,i(t)=Im cos (w t + ),一般规定：| | 。,同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。,注意,正弦正最大值点在计时起点（t=0）之前，则 0,正弦正最大值点在计时起点（t=0）之后，则 0,正弦正最大值点在计时起点（t=0），则 =0,i, 0, 0, = 0,?,?,?,例1,已知正弦电流波形如图，103rad/s， 1.写出 i(t) 表达式；2.求最大
6、值发生的时间t1,解,由于最大值发生在计时起点右侧,二、正弦量的相位差（同频率）,设 u(t)=Um cos(w t+ u), i(t)=Imcos(w t+ i),相位差 = (w t+ u)- (w t+ i)= u- i,相位差：即两正弦量的相位之差。,u, = u- i, 0， u 领先(超前)i ，或i 落后(滞后) u,0， u 落后(滞后) i ，或i 领先(超前) u, =0 u 与i 同相，即两个正弦量同时达到最大值, = ( 180o ) ，反相：,相位关系的几种情况：, = /2 ( 90o ) ，正交：, = 0， 同相：, = ( 180o ) ，反相：,规定： |
7、| (180),判断相位关系：, = 90 u 领先 i 90 或 i 落后 u 90 不说 u 落后 i 270 或i 领先 u 270,?,?,?,例2,计算下列两正弦量的相位差。,解,例2,计算下列两正弦量的相位差。,解,不能比较相位差,两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。,瞬时值：小写字母表示正弦量每一瞬间的数值。,最大值：大写字母加下标m表示瞬时值中最大的数值。,有效值：大写字母表示正弦量的大小。, 交流电压、电流表测量数据为有效值, 交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值,注意,HOMEWORK: 8-8,8.3 相量法的基础,一. 问题的提出,
8、两个同频正弦量的相加： KCL、KVL方程运算：,结论：同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只需确定初相位和有效值。因此采用,变换的思想,同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只需确定初相位和有效值。因此采用,变换的思想,i3,结论,造一个复函数：,若对F(t)取实部：,对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数,无物理意义,是一个正弦量 有物理意义,结论,二. 正弦量的相量表示,F(t)包含了三要素：I， ，w 复常数包含了I , 。,F(t)还可以写成,复常数,正弦量对应的相量,复数的幅角表示正弦量的初相位,有效值相量,复数的模表示正弦量的有效值,注意,复数的幅角表示正弦
9、量的初相位,幅值相量,复数的模表示正弦量的幅值,相量的书写方式,包含幅度与相位信息。,注意,解：,已知瞬时值表达式，求相量。,求： i 、u 的相量,例1,试用有效值相量表示 i, u 。求出两者的相位差,例2,求：,已知相量，求瞬时值表达式。,已知: 两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形式为,例3,画法：用虚线将实轴固定,若相量与实轴的夹角：,正：沿实轴逆时针方向旋转,负：沿实轴顺时针方向旋转,三、相量图:,在复平面上用向量表示相量的图,四. 用相量表示的正弦量的运算,1. 同频率正弦量相加减,得：,故同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。,u1 u2 = u,例4,同频
10、正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。,2 . 正弦量的微分，积分运算,1、正弦量和它的相量不相等。,2、为了强调某一个文字符号代表的是一个正弦 量的相量，必须在这个文字符号上加“.”,3、正弦量的相量分析法只限于正弦量的“”“”积分、微分运算，对于其他的运算不适用。,4、只有同频率的正弦量才能使用相量法。,注意,计算相量的相位角时，要注意所在象限。如：,第一象限 090,第四象限-900,第二象限 90180,第三象限-180-90,2,1、波形图,2、函数式,3、相量图,4、相量,小结：正弦波的四种表示法,一.基尔霍夫定律的相量形式,8-
11、4 电路定律的相量形式,同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：,二. 电路元件的相量关系,1. 电阻,(1)时域特性：,u(t)=i(t) R,（1）同频率,（2）同相位：u=i,（3）有效值关系： U=RI,(2)相量形式：,相量关系：,相量图,同相位,2、电感,(1)时域特性,u(t)和i(t)满足：,（1）同频率,（2）电压超前电流90,（3）有效值关系:U=LI,感抗的物理意义：,(1) 表示限制电流的能力；,(2) 感抗和频率成正比。,XL= U/I = L= 2 f L， 单位: 欧,感抗:电感在正弦条件下阻
12、抗电流通过的能力,U=w L I,(3) 由于感抗的存在使电流落后电压。,感抗的定义：,电流的有效值,（2） 相量关系,相量形式：,相量关系：,虚数因子 j 为一个90旋转因子,电压超前电流900,(1) 时域特性,3. 电容,波形图,（1）同频率,（2）电压滞后电流90,（3）有效值关系I=CU,u(t)和i(t)满足：,容抗的物理意义：,(1) 表示限制电流的能力；,(2) 容抗的绝对值和频率成反比。,容抗：电容在正弦条件下阻抗电流通过的能力,I= CU,(3) 由于容抗的存在使电流领先电压。,错误的写法,容抗定义：,（2） 相量关系,时域形式：,相量形式：,相量关系：,电流超前电压900
13、,解：,电流有效值,求电容中的电流。,例1,瞬时值,i 领先于 u 90,电流有效值,1. XC、XL与R一样，有阻碍电流的作用。,2.适用欧姆定律，等于电压、电流有效值之比。,小结 ：,1. 正弦量三要素：Im , w , ,时域表达式,u=Ri,相量表达式,有效值关系,U=RI,U=XLI XL=wL,U= XCI XC= -1/(wC),相位图,相量关系,例2,试判断下列表达式的正、误：,L,例3,已知：,求u?,jL = j52.4H =12j ,解：,例4,电流表A1的读数为5A，电流表A2的读数为20A，电流表A3的读数为25A，求电流表A的读数？,解：选择参考相量：,设 ：,电流表的读数为： 7.07A,例5,解,设,例6,图示电路I1=I2=5A，U50V，总电压与总电流同相位，求I、R、XC、XL。,解,令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部,
