矩阵特征值和特征向量的计算

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1、第七章 矩阵的特征值与特征向量的计算,自然科学和工程技术中的许多问题， 如振动问题（桥梁或建筑物的振动、机 械振动、电磁振动等），物理学中某些 临界值的确定等，常常要归结为求矩阵 的特征值和特征向量，即求满足,的数和非零列向量x其中数称为A的 特征值，非零列向量x为A的与特征值对 应的特征向量，,计算n阶矩阵A的特征值，就是求特征方程,的非零解,，而齐次线性,用求解线性方程组的方法去求矩阵A 的特征值只适用于低阶矩阵。当矩阵阶数 较高时，计算稳定性较差，因此，必须寻 求一些在计算机上计算矩阵的特征值和特 征向量的较为稳定的数值方法。,方程组 的非零解xi就是i对应的特征向量。,幂法是求实矩阵A

2、的主特征值（即矩 阵A的按模最大的特征值）及其对应特征 向量的一种迭代方法。,幂法,幂法的基本思想：任取一个非零初 始向量x(0) ，由矩阵A构造一个向量序列 x(0)，x(1)，x(2)，x(k)，满足以下条件,上述向量称为迭代向量，因为各特征 向量是线性无关，所以初始向量x(0)可表示 为矩阵A的特征向量vi的一个线性组合，即,并假定10，于是,（7-1）,下面分几种情况讨论： 1A有一个主特征值1， 即,当k充分大的时候，,即,由上面的讨论，得,表示向量x(k)的第i个分量,因此Akx(0)可近似的表示矩阵A与1对 应的特征向量（特征向量可以相差一个常 数因子）。,当k很大时，,2A的主

3、特征值是二重根，,3. 两个主特征值互为相反数，,当k充分大时，,例：用幂法计算矩阵,的主特征值及其对应的特征向量。,解：取x(0)=1，1，1T，由迭代向量,进行计算，计算结果如下：,由上表可算得,可见第一个分量已趋于稳定，而对于第2、第3个分量：,由此可得13.41，因为A7x(0)=(792， -1120，792)T。而特征向量可相差一个常 数因子，所以取与主特征值1相对应的 特征向量为,讨论：,可以看出，当,时，Akx(0)的分量会趋于无穷大；当,时，Akx(0)的分量又会趋于零，因此 在实际计算中需要做适当的规范化，避 免发生计算机的上溢和下溢现象。 幂法的收敛速度，虽然和初始向量 x(0)的选取有关，但主要取决于比值,的大小。,由,作业,补充题：取x(0)=1,0T，用幂法计算矩阵 的特征值和特征向量。,