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1、 第2章 函数 小结与复习（铜鼓中学数学组）(见学生用书第32页)函数的概念及表示法函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，它是两个非空数集间的映射，它要求任给一个自变量的值，都有唯一的函数值与之对应，可由此判断在某种对应关系f的作用下，从非空数集A到非空数集B的对应是否是函数函数的表示方法主要有列表法、图像法、解析法在解决问题时，面对不同的需要，选择恰当的方法表示函数是非常重要的函数的图像是变量间关系的直观反映，能较形象地分析出变量间的变化趋势函数图像广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题有直观、明了、易懂的优点，在历届高考试题中，常出现有关函数图像和利用图像解题的试题已知函数f(x)的定
2、义域为1,3，在同一坐标系下，函数yf(x)的图像与直线x1的交点个数为()A0B1C2D0或1【思路点拨】根据函数的定义求解【解析】f(x)的定义域为1,3，而11,3，点(1，f(1)在函数yf(x)的图像上，又在直线x1上根据函数的定义知，函数是一种特殊的对应，即对于定义域1,3中的任意一个元素，在其值域中有唯一确定的元素与之对应，故直线x1与yf(x)的图像有且只有一个交点【答案】B客车从甲地以60 km/h的速度行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h的速度行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间的关系图像中，正
3、确的是()【解析】由题意可知，客车行驶的路程s与时间t之间的函数解析式为s易知，时间t的最大值为2.5小时，故选项A，D错误；又当1t1.5时，s60，故选项B错误，故选C.【答案】C函数的定义域与值域1.已知函数解析式求其定义域，就是求使解析式有意义(分母不为零，偶次根式的被开方数非负等)的自变量的取值范围2已知函数f(x)的定义域为a，b，求函数f(x)的定义域，可解不等式a(x)b求得；如果已知函数f(x)的定义域，可通过求函数(x)的值域，求得函数f(x)的定义域3在函数概念的三要素中，值域是由定义域和对应关系所确定的，因此，在研究函数值域时，既要重视对应关系的作用，又要特别注意定义域
4、对值域的制约作用(1)若函数y的定义域为R，则实数a的取值范围是_(2)已知函数f(x)的定义域为0,1，则函数f(x1)的定义域为_【思路点拨】(1)函数的定义域为R，等价于分母恒不等于0，即方程ax24ax30无实根；(2)利用0x11求出x的取值范围，即是f(x1)的定义域【解析】(1)依题意，xR，解析式有意义，即对任意xR，都有ax24ax30成立，故方程ax24ax30无实根当a0时，30满足要求；当a0时，则有16a212a0，即0a时满足要求综上可知a0，)(2)由题意知，0x11，解得2x4.因此，函数f(x1)的定义域为2,4【答案】(1)0，)(2)2,4已知函数f(2x
5、1)的定义域为0,1)，求f(13x)的定义域【解】f(2x1)的定义域为0,1)，即12x11，f(x)的定义域为1,1)即113x1,00，因此，(x1x2)0.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(，1上为增函数设f(x)在R上是偶函数，在区间(，0)上递增，且有f(2a2a1)0,3a22a13(a)20，且f(2a2a1)3a22a1，即a23a0，解之得0a3.即a的取值范围是a|0a0)，在区间m，n上的最值(若顶点固定，区间也固定)有以下结论：当n时，f(x)单调递减，最小值为f(n)，最大值为f(m)当a0时，可仿此讨论(2)二次函数在闭区间上必有最
6、大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图像的顶点处取得(3)可画出草图帮助分析解决问题，体现数形结合的思想2二次函数的区间固定、对称轴不定的最值问题(轴变区间定)区间固定对称轴不定，即抛物线处在运动状态之中，但区间固定解决这类问题一方面要对对称轴与区间的相对位置进行讨论(这是解决问题的关键)，另一方面画出草图利于分析3二次函数对称轴固定、区间不定的最值问题(轴定区间变)此类问题与二次函数区间固定、对称轴不定的最值问题一样，主要是通过对区间与对称轴的相对位置进行讨论，使最值问题获得解决在讨论中可画草图帮助分析(1)当2x2时，求函数yx22x3的最大值和最小值(2)当1x2时，求函数yx2x
7、1的最大值和最小值(3)当x0时，求函数yx(2x)的取值范围【思路探究】画图像看顶点看单调性求最值【自主解答】(1)作出函数的图像，如图(1)当x1时，ymin4；当x2时，ymax5.(2)作出函数的图像，如图(2)当x1时，ymax1；当x2时，ymin5.(3)作出函数yx(2x)x22x在x0时的图像，如图(3)可以看出：当x1时，ymin1，无最大值所以，当x0时，函数的取值范围是y1.1求函数f(x)x22x在t,1上的值域【解】函数f(x)x22x的对称轴为x1，则(1)当1t1时，t,1是单调增区间，值域为f(t)，f(1)，即t22t,3(2)当3t1时，函数在x1处取最小
8、值；在x1处取最大值，值域为f(1)，f(1)，即1,3(3)当t0时，ymink(1)22k(1)11k，ymaxk222k218k1.当k0时，ymink222k218k1，ymaxk(1)22k(1)11k.数形结合思想1.数形结合的思想是数学中重要的思想方法之一，其特点是用形示数，凸显直观性，以数示形，刻画精确性数形结合，体现解题灵活性2本章中理解函数的奇偶性，单调性以及函数最值等概念时，常用到数形结合思想函数f(x)若f(4)f(0)，f(2)2，则关于x的方程f(x)x的解的个数为()A1B2C3D4【思路点拨】利用已知f(4)f(0)和f(2)2求出b，c的值然后画出图像确定方程
9、f(x)x解的个数【解析】由f(4)f(0)得，164bcc，b4.又f(2)2，所以48c2，即c2.因此，f(x)在平面直角坐标系中作出函数yf(x)与yx的图像，如图所示，易知，它们有三个不同的交点，进而可知，方程f(x)x有三个解【答案】C对于任意的xR，函数f(x)表示x3，x，x24x3中的较大者，则f(x)的最小值是_【解析】首先应理解题意，“函数f(x)表示x3，x，x24x3中的较大者”是指对某个区间而言，函数f(x)表示yx3，yx，yx24x3中最大的一个其次是找出函数f(x)的表达式，此时可利用函数图像来确定如图，分别画出三个函数yx3，yx，yx24x3的图像，得到三
10、个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)从图像可得函数f(x)的表达式：f(x)f(x)的图像是图中的实线部分，图像的最低点是点B(1,2)，所以函数f(x)的最小值是2.【答案】2分类讨论思想在解决问题的过程中，经常会遇到不能用一种标准或同一种运算或同一个类型去解决问题，因而会出现多种不同的情况，这就需要分成若干个局部问题去解决，这就是分类讨论思想已知函数f(x)x(xa)，xa,1(1)若函数f(x)在区间a,1上是单调函数，求a的取值范围(2)求f(x)在区间a,1上的最大值g(a)【思路点拨】函数的对称轴为x，讨论与区间a,1的位置关系【规范解答】(1)f(x)x(xa)x2ax，其对称轴x，函数f(x)在区间a,1上是单调函数，故a，即a0.a的取值范围是0，)(2)a1，当0时，f(x)在a,1上为减函数，则g(a)f(a)0，当a1，即a0时，g(a)f().综上g(a)已知函数f(x)x2(x0，常数aR)，讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由【解】当a0时，f(x)x2，对任意x(，0)(0，)，f(x)(x)2x2f(x)，f(x)为偶函数当a0时，f(x)x2(a0，x0)，取x1，得f(1)f(1)20，f(
