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1、第八节 基本不等式,1基本不等式,a0，b0,ab,2.常用的几个重要不等式 (1)a2b2 (a，bR),3算术平均数与几何平均数 设a0，b0，则a，b的算术平均数为 ，几何平均数为 ，基本不等式可叙述为： ,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,2ab,4利用基本不等式求最值问题 已知x0，y0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 时，xy有 值是 2 .(简记：积定和最小) (2)如果和xy是定值 ，那么当且仅当 时，xy有 值是.(简记：和定积最大),xy,最小,xy,最大,1下列结论中不正确的是( ) Aa0时，a 2 B. 2 Ca2b22ab Da2b2 【解析】
2、 2，只有当a、b同号且不为零时成立，故 2不一定成立 【答案】 B,2x ，则f(x)4x 的最小值为( ) A3 B2 C5 D7,【解析】 f(x)4x 4x5 5， x ，4x50，4x5 2， 故f(x)257，等号成立的条件是x . 【答案】 D,3若直线axby10(a0，b0)平分圆x2y28x2y10，则 的最小值为( ) A8 B12 C20 D16,【解析】 直线平分圆， 直线过圆心，又圆心坐标为(4，1)， 4ab10，4ab1，,【答案】 D 4设x，y都是正实数，且x4y40，则lgxlgy的最大值是_ 【解析】 x，y都是正实数，x4y4 ，, 10，xy100，
3、 而lgxlgylg(xy)lg1002， 等号成立的条件是x20，y5. 【答案】 2 5下列函数中，y的最小值为4的是_(填序号) yx (x0); y ； yex4ex; ysin x .,【答案】 ,求下列各题的最值,(1)已知x0，y0，lgxlgy1，求z 的最小值 (2)x0，求f(x) 3x的最小值 (3)x0， 3x36是常数，故可直接利用基本不等式 (3)因 f(x) x33，又x30，故需变号,x不是常数，故需变形,g(t)在1,2上是减函数， g(t)ming(2)2 ， f(x)min ，等号成立的条件是sin2 x12. sin2 x1，sin x1， xk (kZ
4、)， 故f(x)的最小值是 .,(t1t2) . t10，g(t1)g(t2)，,【方法点评】 1.利用基本不等式求最值需注意的问题 (1)各数(或式)均为正； (2)和或积为定值； (3)等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可 2基本不等式的几种变形公式 对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种常见的变形形式及公式的逆运用等，如：,3创设应用基本不等式的条件 (1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值 (2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条
5、件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法,1(1)设00，y0且xy1，求 的最小值 【解析】 (1)020，,(1)已知a0，b0，ab1，求证： 4. (2)证明：a4b4c4d44abcd. 【思路点拨】 (1)利用ab1将要证不等式中的1代换，即可得证 (2)利用a2b22ab两两结合即可求证但需两次利用不等式，注意等号成立的条件 【自主探究】 (1)方法一：a0，b0，ab1，,原不等式成立 方法二：a0，b0，ab1，,原不等式成立 (2)a4b4c4d42a2b22c2d2 2(a2b2c
6、2d2)22abcd4abcd. 故原不等式得证，等号成立的条件是a2b2且c2d2且a2b2c2d2. 【方法点评】 1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果”,2证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立同时也要注意应用基本不等式的变形形式,已知不等式(xy) 9对任意的正实数x、y恒成立，求正数a的最小值 【思路点拨】 展开后，利用基本不等式，而后解不等式可求a值 【自主探究】 (xy),正数a的最小值是4. 【方法点评】 利用
7、基本不等式求参数的值或范围时，只需求出式子的最小值或最大值，使其满足已知条件即可，如本例只需求得(xy) 的最小值，让最小值大于等于9即可,3设a、b、c都是正数，且a、b满足 1，求使abc恒成立的c的取值范围 【解析】 a、b、c都是正实数，且 1，,ab16，要使abc恒成立，则只需0c16. c的取值范围是(0,16,即b3a时成立，此时a4，b12,1(2009年天津高考)设a0，b0.若 是3a与3b的等比中项，则 的最小值为( ) A8 B4 C1 D. 【解析】 是3a与3b的等比中项， ( )23a3b. 即33ab，ab1. 此时 故选B.,【答案】 B,2(2009年重庆
8、高考)已知a0，b0，则 的最小值是( ) A2 B2 C4 D5,【答案】 C 3(2009年天津高考)设x，yR，a1，b1.若axby3，ab2 ，则 的最大值为( ),【解析】 axby3，xloga3，ylogb3， log3alog3blog3ablog3 log331，故选C. 【答案】 C,5(2009年湖北高考)围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地
9、围墙的总费用为y(单位：元),(1)将y表示为x的函数； (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用 【解析】 (1)如图，设矩形的另一边长为a m，,则y45x180(x2)1802a225x360a360. 由已知xa360，得a ， 所以y225x 360(x0) (2)x0，225x 2 10 800. y225x 36010 440. 当且仅当225x 时，等号成立 即当x24 m时，修建围墙的总费用最小， 最小总费用是10 440元,1创设应用基本不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立 2对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如： (a0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件,课时作业 点击进入链接,
