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1、2019/1/20,同济高等数学课件,二、第二类换元法,第二节,一、第一类换元法,换元积分法,第四章,2019/1/20,同济高等数学课件,第二类换元法,第一类换元法,基本思路,设,可导,则有,2019/1/20,同济高等数学课件,一、第一类换元法,定理1.,则有换元,公式,(也称配元法,即, 凑微分法),2019/1/20,同济高等数学课件,例1. 求,解: 令,则,故,原式 =,注: 当,时,注意换回原变量,2019/1/20,同济高等数学课件,例2. 求,解:,令,则,想到公式,2019/1/20,同济高等数学课件,例3. 求,想到,解:,(直接配元),2019/1/20,同济高等数学课
2、件,例4. 求,解:,类似,2019/1/20,同济高等数学课件,例5. 求,解:, 原式 =,2019/1/20,同济高等数学课件,常用的几种配元形式:,万能凑幂法,2019/1/20,同济高等数学课件,例6. 求,解: 原式 =,2019/1/20,同济高等数学课件,例7. 求,解: 原式 =,例8. 求,解: 原式 =,2019/1/20,同济高等数学课件,例9. 求,解法1,解法2,两法结果一样,2019/1/20,同济高等数学课件,例10. 求,解法1,2019/1/20,同济高等数学课件,解法 2,同样可证,或,(P199 例18 ),2019/1/20,同济高等数学课件,例11.
3、 求,解: 原式 =,2019/1/20,同济高等数学课件,例12 . 求,解:,2019/1/20,同济高等数学课件,例13. 求,解:,原式 =,2019/1/20,同济高等数学课件,例14. 求,解: 原式 =,分析:,2019/1/20,同济高等数学课件,例15. 求,解: 原式,2019/1/20,同济高等数学课件,小结,常用简化技巧:,(1) 分项积分:,(2) 降低幂次:,(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法,(4) 巧妙换元或配元,万能凑幂法,利用积化和差; 分式分项;,利用倍角公式 , 如,2019/1/20,同济高等数学课件,思考与练习,1. 下列各题求积方法有何
4、不同?,2019/1/20,同济高等数学课件,2. 求,提示:,法1,法2,法3,作业,2019/1/20,同济高等数学课件,二、第二类换元法,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则得第二类换元积分法 .,难求，,2019/1/20,同济高等数学课件,定理2 . 设,是单调可导函数 , 且,具有原函数 ,证:,令,则,则有换元公式,2019/1/20,同济高等数学课件,例16. 求,解: 令,则, 原式,2019/1/20,同济高等数学课件,例17. 求,解: 令,则, 原式,2019/1/20,同济高等数学课件,例18. 求,解:,令,则, 原式,2019/1/20,同济高
5、等数学课件,令,于是,2019/1/20,同济高等数学课件,说明:,1. 被积函数含有,除采用三角,采用双曲代换,消去根式 ,所得结果一致 .,( 参考 P204 P205 ),或,代换外, 还可利用公式,2. 再补充两个常用双曲函数积分公式,2019/1/20,同济高等数学课件,原式,例19. 求,解: 令,则,原式,当 x 0 时, 类似可得同样结果 .,2019/1/20,同济高等数学课件,小结:,1. 第二类换元法常见类型:,令,令,令,或,令,或,令,或,第四节讲,2019/1/20,同济高等数学课件,2. 常用基本积分公式的补充 (P205 P206),7) 分母中因子次数较高时,
6、 可试用倒代换,令,2019/1/20,同济高等数学课件,2019/1/20,同济高等数学课件,解: 原式,(P206 公式 (20) ),例20. 求,例21. 求,解:,(P206 公式 (23) ),2019/1/20,同济高等数学课件,例22. 求,解: 原式 =,(P206 公式 (22) ),例23. 求,解: 原式,(P206 公式 (22) ),2019/1/20,同济高等数学课件,例24. 求,解: 令,得,原式,2019/1/20,同济高等数学课件,例25. 求,解: 原式,令,例16,例16,2019/1/20,同济高等数学课件,思考与练习,1. 下列积分应如何换元才使积
7、分简便 ?,令,令,令,2019/1/20,同济高等数学课件,2. 已知,求,解: 两边求导, 得,则,(代回原变量),2019/1/20,同济高等数学课件,P207 2 (4) , (5) , (9) , (11) , (12) , (16) , (20) , (21) , (23) , (28) , (29) , (30) , (32) , (33) , (35) , (36) , (38), (40) , (42) , (44),作业,第三节,2019/1/20,同济高等数学课件,备用题 1. 求下列积分:,2019/1/20,同济高等数学课件,2.,求不定积分,解：,利用凑微分法 ,原式 =,令,得,2019/1/20,同济高等数学课件,分子分母同除以,3.,求不定积分,解:,令,原式,
